Trasformazione di coordinate
Salve a tutti,
sto leggendo un libro sulla teoria della relatività generale. Ad un certo punto mi sono imbattuto in un passaggio matematico che non riesco a capire. Si tratta di un cambiamento di coordinate. Il libro parte dicendo che le equazioni di una particella in caduta libero nello spazio di Minkowsky sono:
,
Dove ds è l' elemento metrico spazio-temporale nella metrica di Minkowsky. E fin qua tutto ok.
Il libro continua dicendo che le trasformazioni che fanno passare dal sistema di laboratorio a quello inerziale sono
Applicando queste trasformazioni all' equazione, essa diventa
Non mi è chiaro quest' ultimo passaggio. Cioè quando si applicano le trasformazioni. Me lo potete spiegare passo passo?
Grazie in anticipo,
Luca
sto leggendo un libro sulla teoria della relatività generale. Ad un certo punto mi sono imbattuto in un passaggio matematico che non riesco a capire. Si tratta di un cambiamento di coordinate. Il libro parte dicendo che le equazioni di una particella in caduta libero nello spazio di Minkowsky sono:
,Dove ds è l' elemento metrico spazio-temporale nella metrica di Minkowsky. E fin qua tutto ok.
Il libro continua dicendo che le trasformazioni che fanno passare dal sistema di laboratorio a quello inerziale sono
Applicando queste trasformazioni all' equazione
, essa diventaNon mi è chiaro quest' ultimo passaggio. Cioè quando si applicano le trasformazioni. Me lo potete spiegare passo passo?
Grazie in anticipo,
Luca
Risposte
Allora..
$(d^2 \xi^\alpha)/(ds^2) = (d)/(ds) ((d\xi^\alpha)/(ds))$
Per definizione di derivata seconda di una funzione. In questo pezzo credo che tu o il tuo professore abbiate scritto per sbaglio $ds^2$ al posto di $ds$. A questo punto derivo totalmente la parte più interna dell'equazione ottenendo
$(d\xi^\alpha)/(ds) = (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)$
Che introdotta nella equazione iniziale diventa:
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)) = (d)/(ds)((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) (d x^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
Per la formula di derivazione delle funzione composte e la linearità della derivazione. Nell'ultimo passaggio calcola semplicemente
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) = (\partial^2 \xi^\alpha)/(\partial x^\mu \partial x^\nu) (d x^\mu)/(ds) (d x^\nu)/(ds)$
Per la definizione di derivata totale di una funzione. Il risultato finale è quindi
$(\partial^2 \xi^\alpha)/(\partial x^\mu \partial x^\nu) (d x^\mu)/(ds) (d x^\nu)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$.
$(d^2 \xi^\alpha)/(ds^2) = (d)/(ds) ((d\xi^\alpha)/(ds))$
Per definizione di derivata seconda di una funzione. In questo pezzo credo che tu o il tuo professore abbiate scritto per sbaglio $ds^2$ al posto di $ds$. A questo punto derivo totalmente la parte più interna dell'equazione ottenendo
$(d\xi^\alpha)/(ds) = (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)$
Che introdotta nella equazione iniziale diventa:
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)) = (d)/(ds)((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) (d x^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
Per la formula di derivazione delle funzione composte e la linearità della derivazione. Nell'ultimo passaggio calcola semplicemente
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) = (\partial^2 \xi^\alpha)/(\partial x^\mu \partial x^\nu) (d x^\mu)/(ds) (d x^\nu)/(ds)$
Per la definizione di derivata totale di una funzione. Il risultato finale è quindi
$(\partial^2 \xi^\alpha)/(\partial x^\mu \partial x^\nu) (d x^\mu)/(ds) (d x^\nu)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$.
Innanzi tutto grazie mille per la risposta. Ma continuo a non capire alcuni passaggi.
Allora...
In questo caso il $d^2 \xi^\alpha$ non indica uno spostamento infinitesimo sulle coordinate $\xi^\alpha$ al quadrato che successivamente viene diviso per l' emeneto ds al quadrato? Non credo che sia la derivata seconda della funzione $\xi^\alpha$ in ds al quadrato. O mi sbaglio?
Poi...
E qui è tutto chiaro.
In questo passaggio ho capito che l' elemento $(d\xi^\alpha)/(ds)$ si sostituisce a $(\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)$. Ma non riesco a capire questa eguaglianza:
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)) = (d)/(ds)((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) (d x^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
Potete chiarirmi questi dubbi?
Grazie mille
Allora...
"apatriarca":
$(d^2 \xi^\alpha)/(ds^2)$
In questo caso il $d^2 \xi^\alpha$ non indica uno spostamento infinitesimo sulle coordinate $\xi^\alpha$ al quadrato che successivamente viene diviso per l' emeneto ds al quadrato? Non credo che sia la derivata seconda della funzione $\xi^\alpha$ in ds al quadrato. O mi sbaglio?
Poi...
A questo punto derivo totalmente la parte più interna dell'equazione ottenendo
$(d\xi^\alpha)/(ds) = (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)$
E qui è tutto chiaro.
Che introdotta nella equazione iniziale diventa:
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)) = (d)/(ds)((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) (d x^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
In questo passaggio ho capito che l' elemento $(d\xi^\alpha)/(ds)$ si sostituisce a $(\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)$. Ma non riesco a capire questa eguaglianza:
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^{\lambda}) (d x^{\lambda})/(ds)) = (d)/(ds)((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) (d x^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda) (d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
Potete chiarirmi questi dubbi?
Grazie mille
Quanti anni hai? Hai mai seguito un corso o delle lezioni di analisi?
Anche se il concetto di infinitesimo è a volte utilizzato in Fisica per dare dimostrazioni intuitive di alcuni concetti, non esiste in matematica. Quello che esiste è la derivazione per una variabile. $(df)/(dx)$ non è lo spostamento infinitesimo in $f$ diviso lo spostamento infinitesimo in $x$, ma la derivata della funzione $f$ nella variabile $x$, cioè
$(df)/(dx)(x) = \lim_{h -> 0} (f(x + h) - f(x))/(h)$.
Viene scritto come un rapporto, ma è solo per comodità di notazione. Si può derivare la derivata prima di una funzione per la stessa variabile ottenendo così la derivata seconda e via via quelle di grado superiore. Siccome l'operatore di derivazione è indicato $(d)/(dx)$, quando si integra più volte usando questa notazione si scrive per comodità $(d)/(dx) (d)/(dx) = (d/dx)^2 = (d^2)/(dx^2)$. Ma anche in questo caso si tratta solo di una notazione. Questa è la ragione per cui
$(d^2 \xi^\alpha)/(ds^2) = (d)/(ds) (d \xi^\alpha)/(ds)$.
L'uguaglianza
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)(dx^\lambda)/(ds)) = (d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda))(dx^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)(d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
deriva dalla regola del prodotto per le derivate
$(d)/(dx) (f * g) = (df)/(dx) * g + f * (dg)/(dx)$,
dove $f$ e $g$ sono funzioni in $x$. Viene anche chiamata regola di Leibniz ed è fondamentale.
In questo caso il $(d^2 \xi^\alpha)$ non indica uno spostamento infinitesimo sulle coordinate $\xi^\alpha$ al quadrato che successivamente viene diviso per l' emeneto ds al quadrato? Non credo che sia la derivata seconda della funzione $\xi^\alpha$ in ds al quadrato. O mi sbaglio?
Anche se il concetto di infinitesimo è a volte utilizzato in Fisica per dare dimostrazioni intuitive di alcuni concetti, non esiste in matematica. Quello che esiste è la derivazione per una variabile. $(df)/(dx)$ non è lo spostamento infinitesimo in $f$ diviso lo spostamento infinitesimo in $x$, ma la derivata della funzione $f$ nella variabile $x$, cioè
$(df)/(dx)(x) = \lim_{h -> 0} (f(x + h) - f(x))/(h)$.
Viene scritto come un rapporto, ma è solo per comodità di notazione. Si può derivare la derivata prima di una funzione per la stessa variabile ottenendo così la derivata seconda e via via quelle di grado superiore. Siccome l'operatore di derivazione è indicato $(d)/(dx)$, quando si integra più volte usando questa notazione si scrive per comodità $(d)/(dx) (d)/(dx) = (d/dx)^2 = (d^2)/(dx^2)$. Ma anche in questo caso si tratta solo di una notazione. Questa è la ragione per cui
$(d^2 \xi^\alpha)/(ds^2) = (d)/(ds) (d \xi^\alpha)/(ds)$.
L'uguaglianza
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)(dx^\lambda)/(ds)) = (d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda))(dx^\lambda)/(ds) + (\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)(d^2 x^\lambda)/(ds^2)$
deriva dalla regola del prodotto per le derivate
$(d)/(dx) (f * g) = (df)/(dx) * g + f * (dg)/(dx)$,
dove $f$ e $g$ sono funzioni in $x$. Viene anche chiamata regola di Leibniz ed è fondamentale.
Grazie mille per la risposta 
Ma ho ancora un ultimo dubbio.
Perchè quest' uguaglianza? Quali sono le formule che usi?
Ma ho ancora un ultimo dubbio.
"apatriarca":
Per la formula di derivazione delle funzione composte e la linearità della derivazione. Nell'ultimo passaggio calcola semplicemente
$(d)/(ds) ((\partial \xi^\alpha)/(\partial x^\lambda)) = (\partial^2 \xi^\alpha)/(\partial x^\mu \partial x^\nu) (d x^\mu)/(ds) (d x^\nu)/(ds)$
Perchè quest' uguaglianza? Quali sono le formule che usi?
Ciao, non so se mi ero dimenticato di rispondere o mi ero perso la tua risposta. In ogni caso si tratta della formula di derivazione delle funzioni composte (come in effetti era già scritto nel testo). Io in italiano l'ho sempre chiamata così ma forse la conosci come regola della catena o qualcosa del genere (si chiama chain rule in inglese e non so se esiste una tradizione più o meno letterale in italiano e se qualcuno la usa). Consideri infatti le coordinate $x^\mu$ e $x^\nu$ come funzioni di $s$.
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