Traiettoria stella vista da pianeta: ellisse?

[DavideGenova1]

Consideriamo un pianeta che orbita intorno ad una stella descrivendo un'ellisse in uno dei cui fuochi è posta la stella. Vista dal pianeta, intuitivamente, ho l'impressione che la stella descriva un'identica ellisse con il pianeta in uno dei due fuochi.
È così?
Mi piacerebbe trovarne una dimostrazione e capire dove si trovi il secondo fuoco...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
$\infty$ grazie a tutti!

[billyballo2123]

Ciao
Io ci provo, se dico cavolate correggetemi
Se la traiettoria del pianeta è $\mathbf{r}(t) = (a\cos t, b \sin t)$, con $a^2>b^2$, allora i fuochi hanno coordinate $(-c,0)$ e $(c,0)$ (supponiamo che la stella abbia coordinate $(c,0)$). Se il pianeta si trova nel generico punto $(a\cos t, b \sin t)$, con il cambio di coordinate
\[
\begin{bmatrix}
X \\
Y
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
a\cos t \\
b\sin t
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
c \\
0
\end{bmatrix}
\]
si ha che le nuove coordinate del pianeta sono $(-c,0)$, e le coordinate della stella $(-a \cos t, -b \sin t)$.

Quindi con queste nuove coordinate la stella compie un'orbita ellittica e il pianeta rimane fisso in uno dei due fuochi dell'orbita.

[DavideGenova1]

Grazie, Billy! Poniamo \(P=P(t):=(a\cos t,b\sin t)\), \(O=(0,0)\) e \(C=(c,0)\).
La posizione del pianeta rispetto alla stella direi che sia \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=(a\cos t,b\sin t)-(c,0)\), o sbaglio? Quindi la posizione della stella rispetto al pianeta non dovrebbe essere \(\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{CP}=(c-a\cos t,-b\sin t)\)?
Dove sbaglio? $\infty$ grazie ancora!

[donald_zeka]

Nel problema dei due corpi sottoposti alla mutua attrazione gravitazionale si studia il moto di un corpo relativamente all'altro e risulta che tale moto è un'ellisse di cui l'altro pianeta occupa un fuoco, quindi il moto del pianeta relativamente alla stella è ellittico ed equivalentemente il moto della stella relativamente al pianeta è ellittico. Le due ellissi sono identiche a meno di traslazione, ciò è dovuto al fatto che i parametri caratteristici dell'ellisse in forma polare, $l$ e $e$ dipendono simmetricamente da $m_1$ e $m_2$

[billyballo2123]

"DavideGenova":Grazie, Billy! Poniamo \(P=P(t):=(a\cos t,b\sin t)\), \(O=(0,0)\) e \(C=(c,0)\).
La posizione del pianeta rispetto alla stella direi che sia \(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=(a\cos t,b\sin t)-(c,0)\), o sbaglio? Quindi la posizione della stella rispetto al pianeta non dovrebbe essere \(\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{CP}=(c-a\cos t,-b\sin t)\)?
Dove sbaglio? $\infty$ grazie ancora!

Non stai sbagliando!
La differenza tra il mio ragionamento e il tuo, è che io mi sposto in un sistema di riferimento in cui il pianeta ha coordinate fisse $(-c,0)$, mentre tu in un sistema di riferimento in cui il pianeta è fisso nell'origine.