Traformazione lineare non iniettiva

[Manugal]

Ciao a tutti!

Ho il seguente problema:

"Determinare per quale valore del parametro k la trasformazione lineare seguente

$f:RR^3------------------->RR^3$
$(x,y,z)--------------->(-x,ky+2z,-x+z)$

non è iniettiva. Per tale valore determinare $Kerf$, una sua base B, una base di $RR^3$ contenente B, una base di $Imf$. Verificare inoltre se la matrice A associata a tale f è diagonalizzabile"

Il problema che ho è nel determinare per quale k non è iniettiva. Cioè io ho pensato che siccome una trasf. lineare è iniettiva se e solo se $Kerf={0_V}$ allora controllo come è fatto il $Kerf$. Quindi mi sono messo a risolvere il seguente sistema:

-x=0
ky+2z=0
-x+z=0

Solo che risolvendolo mi viene fuori una cosa del genere:

x=0
ky=0
z=x

Cioè in questo caso x,y,z non sono tutti 0? Quindi come faccio a dire che la f è non iniettiva? Per quale k?

Grazie.

[miuemia]

allora è giusto quello che hai fatto...però hai che la matrice ssociata al tuo sistema è
$A((-1,0,0),(0,k,2),(-1,0,1))$ e quindi dire per quali valori $f$ non è iniettica equivale a trovare i $k$ per cui il determinante di $A$ è nullo... e in questo caso ottieni che è nullo solo per $k=0$...
il resto è facile
ciao
ciao

[Manugal]

Grazie, però potresti spiegarmi perché basta vedere che il determinante della matrice è nullo?

[miuemia]

poichè in generale se vuoi che il sistema omogeneo $Ax=0$ abbia soluzioni diverse da quelle nulle devi avere che il determinante di $A$ sia diverso da zero tuto qui

[Manugal]

Ah ho capito, grazie mille.

[Manugal]

Però scusa una cosa. Io per k=0 secondo la traccia dell'esercizio devo trovare poi il $kerf$. Ma il sistema per trovarlo viene così:

-x=0
2z=0
-x+z=0

Qui x=0, z=x. Qual'è qua la soluzione? (0,0,0) o (x,0,x)?