Traccia e rango di matrice
Saluti. L'esercizio che non riesco a risolvere è il seguente:
Ho fatto delle osservazioni, ma non credo possano essere troppo utili ai fini della risoluzione.
Per esempio ho notato che \(\displaystyle \mbox{det}(A^{2})=(\mbox{det}A) \cdot (\mbox{det}A) = \mbox{det}A \) (per il teorema di Binet), e questo è vero se e solo se \(\displaystyle \mbox{det}A=1 \) oppure \(\displaystyle \mbox{det}A=0 \). Nel primo caso avrei \(\displaystyle \mbox{rk}A=n \), quindi dovrei provare che \(\displaystyle \mbox{tr}A=n \), ma come?
So per esempio che la traccia di \(\displaystyle A \) è data dalla somma degli autovettori e dal coefficiente (a meno del segno) della \(\displaystyle x \) di grado \(\displaystyle n-1 \) del polinomio caratteristico. Queste informazioni possono essermi utili? Se sì, come?
In caso contrario dev'esserci qualche peculiarità delle matrici con quella proprietà che mi sfugge...
Ringrazio in anticipo
Sia \(\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}) \) una matrice che soddisfa alla condizione \(\displaystyle A^{2}=A \). Si mostri che \(\displaystyle \mbox{tr} A = \mbox{rk} A \).
Ho fatto delle osservazioni, ma non credo possano essere troppo utili ai fini della risoluzione.
Per esempio ho notato che \(\displaystyle \mbox{det}(A^{2})=(\mbox{det}A) \cdot (\mbox{det}A) = \mbox{det}A \) (per il teorema di Binet), e questo è vero se e solo se \(\displaystyle \mbox{det}A=1 \) oppure \(\displaystyle \mbox{det}A=0 \). Nel primo caso avrei \(\displaystyle \mbox{rk}A=n \), quindi dovrei provare che \(\displaystyle \mbox{tr}A=n \), ma come?
So per esempio che la traccia di \(\displaystyle A \) è data dalla somma degli autovettori e dal coefficiente (a meno del segno) della \(\displaystyle x \) di grado \(\displaystyle n-1 \) del polinomio caratteristico. Queste informazioni possono essermi utili? Se sì, come?
In caso contrario dev'esserci qualche peculiarità delle matrici con quella proprietà che mi sfugge...
Ringrazio in anticipo
Risposte
Ah ecco. Tira in ballo le forme di Jordan di cui abbiamo parlato ben poco. Allora attendo che il discorso venga un po' approfondito a lezione.
Ti ringrazio, Giotto.
Ti ringrazio, Giotto.
In realtà volevo segnalarti l'intervento successivo a quello che hai letto: post352977.html#p352977
(anzi, ti invito a dare un'occhiata all'intero thread)
Sergio ha scritto:
(anzi, ti invito a dare un'occhiata all'intero thread)
Sergio ha scritto:
Forse ci si arriva senza passare per Jordan: se $A$ è idempotente, allora è simile ad una matrice diagonale avente solo $1$ e $0$ sulla diagonale principale e il cui rango è evidentemente uguale alla traccia. D'altra parte, matrici simili hanno la stessa traccia e lo stesso rango, quindi l'uguaglianza tra traccia e rango vale anche per $A$.In sintesi, "basta" dimostrare che una matrice idempotente è diagonalizzabile.
Mmm... Ok.
Ma come si prova che una matrice idempotente è simile ad un'altra matrice (diagonale) con soli \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \) sulla diagonale principale? Il resto del ragionamento di Sergio mi è chiaro.
E questa è evidentemente una "proprietà" delle matrici idempotenti a cui non avevo pensato...
Ma come si prova che una matrice idempotente è simile ad un'altra matrice (diagonale) con soli \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \) sulla diagonale principale? Il resto del ragionamento di Sergio mi è chiaro.
E questa è evidentemente una "proprietà" delle matrici idempotenti a cui non avevo pensato...
Ci ho pensato un po'. Provo ad autorispondermi (parzialmente): considero il polinomio \(\displaystyle p(x)=x^{2}-x \) ; è chiaro che \(\displaystyle p(A)=0 \) , quindi \(\displaystyle p(x) \) appartiene all'ideale \(\displaystyle I \) dei polinomi che si annullano se calcolati in \(\displaystyle A \). Potrebbe essere il suo polinomio minimo (come si calcola, in generale, un polinomio minimo?) oppure semplicemente un elemento di \(\displaystyle I \). Sappiamo che il polinomio minimo "possiede" tutte le radici del polinomio caratteristico, quindi gli autovalori di \(\displaystyle A \) sono \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \) (oppure solo \(\displaystyle 0 \) oppure solo \(\displaystyle 1 \) ); a questo punto però non è sufficiente avere tutti gli autovalori nel corpo \(\displaystyle C \) in cui si lavora: bisogna anche provare che la molteplicità di ogni autovalore è uguale alla sua nullità (come?).
Oltre a darti una mia personale risposta, faccio un po' di riepilogo:
Sia $A in ccM_(n \times n) (CC)$ matrice idempotente.
1) I suoi autovalori sono $0$ e $1$ (cfr. qui, punto a)
2) $dim ( E_0) +dim (E_1) = n$, dunque la matrice è diagonalizzabile
3) Quindi ci sono $P in ccM_(n \times n) (CC)$ (invertibile) e $D in ccM_(n \times n) (CC)$ matrice diagonale tali che
\[
A=P^{-1} \cdot D \cdot P
\]
4) Dunque $A$ è simile ad una matrice diagonale avente solo $1$ e $0$ sulla diagonale principale e il cui rango è evidentemente uguale alla traccia. D'altra parte, matrici simili hanno la stessa traccia e lo stesso rango, quindi l'uguaglianza tra traccia e rango vale anche per $A$.
Sia $A in ccM_(n \times n) (CC)$ matrice idempotente.
1) I suoi autovalori sono $0$ e $1$ (cfr. qui, punto a)
2) $dim ( E_0) +dim (E_1) = n$, dunque la matrice è diagonalizzabile
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3) Quindi ci sono $P in ccM_(n \times n) (CC)$ (invertibile) e $D in ccM_(n \times n) (CC)$ matrice diagonale tali che
\[
A=P^{-1} \cdot D \cdot P
\]
4) Dunque $A$ è simile ad una matrice diagonale avente solo $1$ e $0$ sulla diagonale principale e il cui rango è evidentemente uguale alla traccia. D'altra parte, matrici simili hanno la stessa traccia e lo stesso rango, quindi l'uguaglianza tra traccia e rango vale anche per $A$.
Non mi è ben chiara la dimostrazione che hai spoilerato, Gi8, ma non ci ho pensato molto perché sono pervenuto ad un'altra dimostrazione (utilizzando quello che sul mio quaderno è chiamato II° criterio di diagonalizzazione): un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo è prodotto di fattori lineari distinti; se il polinomio \(\displaystyle p(x)=x^{2} - x \) è il polinomio minimo del nostro endomorfismo, siamo a posto. Se non lo è, deve dividere \(\displaystyle p(x) \), e quindi può essere soltanto \(\displaystyle x \) oppure \(\displaystyle (x-1) \). Ne discende la tesi.
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