Traccia di f, f(X)=AXA
Ciao a tutti! Mi servirebbe il vostro aiuto per questo esercizio:
Data \(\displaystyle A= \)$((0,3,1),(3,8,3),(1,3,0))$, f appartenente all'endomorfismo End(R(3)) tale che \(\displaystyle f(X)=AXA \), trovare la traccia di f.
Il professore aggiunge ad A la matrice identità \(\displaystyle (A+I)= \)$((1,3,1),(3,9,3),(1,3,1))$ e dice che il rango è uno (ok) e che un suo autovalore è -1, perchè?
Poi non capisco come faccia a trovare la traccia di f, spero mi possiate aiutare
Data \(\displaystyle A= \)$((0,3,1),(3,8,3),(1,3,0))$, f appartenente all'endomorfismo End(R(3)) tale che \(\displaystyle f(X)=AXA \), trovare la traccia di f.
Il professore aggiunge ad A la matrice identità \(\displaystyle (A+I)= \)$((1,3,1),(3,9,3),(1,3,1))$ e dice che il rango è uno (ok) e che un suo autovalore è -1, perchè?
Poi non capisco come faccia a trovare la traccia di f, spero mi possiate aiutare
Risposte
Il tuo professore ti ha mostrato che \( (A+I)\) ha autovalore 0, allora \(A\) ha autovalore -1.
La traccia... Sappiamo che \(Tr(AB)=Tr(BA) \Rightarrow Tr(AXA)=Tr(J\)X\(J)=Tr(J^2\)X \()\).
Nel nostro caso $J= ((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,10)) $
Quindi la nostra traccia:
$Tr(J^2((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)))=Tr(((a,b,c),(d,e,f),(100g,100h,100i)))= a+e+100i.$
Dimmi pure se qualcosa non ti convince!
La traccia... Sappiamo che \(Tr(AB)=Tr(BA) \Rightarrow Tr(AXA)=Tr(J\)X\(J)=Tr(J^2\)X \()\).
Nel nostro caso $J= ((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,10)) $
Quindi la nostra traccia:
$Tr(J^2((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)))=Tr(((a,b,c),(d,e,f),(100g,100h,100i)))= a+e+100i.$
Dimmi pure se qualcosa non ti convince!
Grazie mille!
Quindi: se la matrice \(\displaystyle (A+I) \) ha autovalore 0, allora la matrice \(\displaystyle A \) ha autovalore -1.
Conosco un autovalore (-1), ricavo la sua molteplicità geometrica sottrendo dalla dimensione di R(3) il rango di \(\displaystyle A \), \(\displaystyle 3-1=2 \).
So che la traccia di \(\displaystyle A \) è 8 quindi la somma degli autovalori è 8, \(\displaystyle 8=-2+x \), l'altro autovalore è 10 con molteplicità geometrica 1.
Per quanto riguarda la traccia:
\(\displaystyle Tr(AB)=Tr(J^2A) \)
J è la matrice diagonale simile ad A, ha gli stessi autovalori. \(\displaystyle a=0, e=8, i=0 \) sono gli elementi di \(\displaystyle A \).
\(\displaystyle Tr(J^2A)= 0+8+0=8 \) Ma non dovrebbe essere diversa dalla traccia di \(\displaystyle A \)?
Un dubbio: \(\displaystyle (A + I) \) ha autovalore 0, allora \(\displaystyle A=-I \) ha autovalore -1, perchè \(\displaystyle A(X) = -X \), ma questo vale solo se \(\displaystyle det(A + I) \) uguale a 0 per far si che \(\displaystyle AX=\lambda\ X \) ammetta soluzioni non nulle. Giusto?
Un ultima cosa non capisco perchè \(\displaystyle Tr(AXA)=Tr(JAJ) \). Grazie ancora
Quindi: se la matrice \(\displaystyle (A+I) \) ha autovalore 0, allora la matrice \(\displaystyle A \) ha autovalore -1.
Conosco un autovalore (-1), ricavo la sua molteplicità geometrica sottrendo dalla dimensione di R(3) il rango di \(\displaystyle A \), \(\displaystyle 3-1=2 \).
So che la traccia di \(\displaystyle A \) è 8 quindi la somma degli autovalori è 8, \(\displaystyle 8=-2+x \), l'altro autovalore è 10 con molteplicità geometrica 1.
Per quanto riguarda la traccia:
\(\displaystyle Tr(AB)=Tr(J^2A) \)
J è la matrice diagonale simile ad A, ha gli stessi autovalori. \(\displaystyle a=0, e=8, i=0 \) sono gli elementi di \(\displaystyle A \).
\(\displaystyle Tr(J^2A)= 0+8+0=8 \) Ma non dovrebbe essere diversa dalla traccia di \(\displaystyle A \)?
Un dubbio: \(\displaystyle (A + I) \) ha autovalore 0, allora \(\displaystyle A=-I \) ha autovalore -1, perchè \(\displaystyle A(X) = -X \), ma questo vale solo se \(\displaystyle det(A + I) \) uguale a 0 per far si che \(\displaystyle AX=\lambda\ X \) ammetta soluzioni non nulle. Giusto?
Un ultima cosa
non capisco perchè \(\displaystyle Tr(AXA)=Tr(JAJ) \). Grazie ancora
Attento, $J$ è simile ad $A$ non ad $A+I$, quindi ha autovalori -1, -1, 10. Ho scritto una castroneria, te la modifico in rosso, volevo scrivere $Tr(J^2X)$ ovviamente! Scusa!
Perfetto! Grazie 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo