Traccia
se A è una matrice quadrata dimostrare che la sua traccia è pari alla somma degli autovalori
Risposte
uhmmm, vediamo:
partiamo da una matrice diagonale quadrata, evidentemente i suoi autovalori sono i valori diagonali, e quindi per questa matrice rimane dimostrata la tesi.
Ora immaginiamo di voler creare una matrice qualunque da questa matrice diagonale, senza alterare gli autovalori, ovvero facciamo una trasposizione per similitudine della matrice diagonale D mediante A:
$ B = A^(-1)DA $
Poichè la traccia si conserva attraverso le similitudini tra matrici, la tesi rimane dimostrata per qualunque matrice quadrata.
Sicuramente si può dimostrare in altri modi, e non so se la mia dim va bene, essendomi appena svegliato
.
partiamo da una matrice diagonale quadrata, evidentemente i suoi autovalori sono i valori diagonali, e quindi per questa matrice rimane dimostrata la tesi.
Ora immaginiamo di voler creare una matrice qualunque da questa matrice diagonale, senza alterare gli autovalori, ovvero facciamo una trasposizione per similitudine della matrice diagonale D mediante A:
$ B = A^(-1)DA $
Poichè la traccia si conserva attraverso le similitudini tra matrici, la tesi rimane dimostrata per qualunque matrice quadrata.
Sicuramente si può dimostrare in altri modi, e non so se la mia dim va bene, essendomi appena svegliato
.
Nel caso generale si puo' fare a meno della similitudine procedendo
in maniera diretta.
Il polinomio caratteristico P (cioe' quello le cui radici sono gli autovalori
di A) e' uguale a $det(lambdaI_n-A)$ dove $I_n$ e' la
matrice identica nxn.Tale determinante ,com'e' noto,e' la somma
di n! prodotti ciascuno dei quali contiene n termini di A non appartenenti,
a 2 a 2,alla stessa riga o colonna.Il termine di grado piu' elevato sara allora
$(lambda-a_(11))(lambda-a_(22))...(lambda-a_(n n))$
e l'intero polinomio P sara:
$P=(lambda-a_(11))(lambda-a_(22))...(lambda-a_(n n))$ +termini di grado inferiore a n-1
Ovvero :
$P=lambda^n- (a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))lambda^(n-1)+etc$
e come si vede $(a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))$ e' sia la traccia di A sia la somma
delle radici di P.
karl
in maniera diretta.
Il polinomio caratteristico P (cioe' quello le cui radici sono gli autovalori
di A) e' uguale a $det(lambdaI_n-A)$ dove $I_n$ e' la
matrice identica nxn.Tale determinante ,com'e' noto,e' la somma
di n! prodotti ciascuno dei quali contiene n termini di A non appartenenti,
a 2 a 2,alla stessa riga o colonna.Il termine di grado piu' elevato sara allora
$(lambda-a_(11))(lambda-a_(22))...(lambda-a_(n n))$
e l'intero polinomio P sara:
$P=(lambda-a_(11))(lambda-a_(22))...(lambda-a_(n n))$ +termini di grado inferiore a n-1
Ovvero :
$P=lambda^n- (a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))lambda^(n-1)+etc$
e come si vede $(a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))$ e' sia la traccia di A sia la somma
delle radici di P.
karl
Non ho capito: perchè dici che l'ultima somma che hai scritto è la somma delle radici di $P$?
$P=lambda^n- (a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))lambda^(n-1)+etc$
e come si vede $(a_(11)+a_(22)+...+a_(n n))$ e' sia la traccia di A sia la somma
delle radici di P.
potresti essere più chiaro su questo passaggio?nn si vede bene quello che dici tu
è un risultato generale (che si usa molto in teoria di Galois) che i coefficienti di un polinomio sono funzioni simmetriche elementari nelle radici. Cioè, scritto $P=\prod_{k=1}^n(t^k-a_k)$ nel campo di spezzamento, allora i suoi coefficienti sono funzioni simmetriche elementari nelle indeterminate $a_i$, ovvero, detta $e_i$ l'i-esima, si ha $P=t^n-e_1t^{n-1}+...+(-1)^n e_n$, dove ricordo che
$e_k=\sum_{j_1<..
ed in particolare $e_1=a_1+...+a_n$
$e_k=\sum_{j_1<..
ed in particolare $e_1=a_1+...+a_n$
Ha gia' detto tutto (ed egregiamente) Uber.
In modo piu' pedestre la somma delle radici del polinomio
$a_0x^n+a_1x^(n-1)+a_2x^(n-2)+...+a_n$ e' data da: $-(a_1)/(a_0)$
karl
In modo piu' pedestre la somma delle radici del polinomio
$a_0x^n+a_1x^(n-1)+a_2x^(n-2)+...+a_n$ e' data da: $-(a_1)/(a_0)$
karl
Sì, è una soluzione corretta, ma è sparare cannonate alle zanzare usare i fondamenti della Teoria di Galois per un problemino di algebra lineare.
Personalmente mi pare molto più chiara e diretta la dimostrazione di luca.barletta.
Personalmente mi pare molto più chiara e diretta la dimostrazione di luca.barletta.
Effettivamente la soluzione di Luca e' buona.Bisogna pero' osservare
che nella sostanza essa sposta il problema introducendo l'invarianza
della traccia per similitudini e pertanto tanto diretta non e'.
La dimostrazione autosufficiente (o quasi) e' proprio la mia che tira in ballo
solo qualche conosciuta proprieta' dei determinanti e la ipernota
formula della somma delle radici di un polinomio
(Galois c'entra poco ed il riferimento di Uber e' solo un notevole
completamento tecnico ).
Posto cio' e scusandomi dell'autocitazione ,concludo dicendo
che "sui gusti non si discute" e che alla fine BV potrebbe aver ragione
per la sua parte.
Karl (alias Archimede)
che nella sostanza essa sposta il problema introducendo l'invarianza
della traccia per similitudini e pertanto tanto diretta non e'.
La dimostrazione autosufficiente (o quasi) e' proprio la mia che tira in ballo
solo qualche conosciuta proprieta' dei determinanti e la ipernota
formula della somma delle radici di un polinomio
(Galois c'entra poco ed il riferimento di Uber e' solo un notevole
completamento tecnico ).
Posto cio' e scusandomi dell'autocitazione ,concludo dicendo
che "sui gusti non si discute" e che alla fine BV potrebbe aver ragione
per la sua parte.
Karl (alias Archimede)
"karl":
la ipernota formula della somma delle radici di un polinomio
eh no karl, ipernota lo dici a tua sorella! nn mi stupirei che in giro ci siano laureati in matematica che nn la sanno
Non ho sorelle ma solo un fratello laureato in ingegneria elettronica
che la formula la sa (oltre a tante altre).
Se consideriamo l'equazione di 2°grado $a_0x^2+a_1x+a_2=0$,che e' quella
meglio conosciuta..forse,si trova che $x_1+x_2=-a_1/a_0$ identica a quella
che ho riportato io per un polinomio di grado n generico.
Un sondaggio nel forum su quanti conoscono quella formula
avrebbe un risultato impietoso...per qualcuno.
karl
che la formula la sa (oltre a tante altre).
Se consideriamo l'equazione di 2°grado $a_0x^2+a_1x+a_2=0$,che e' quella
meglio conosciuta..forse,si trova che $x_1+x_2=-a_1/a_0$ identica a quella
che ho riportato io per un polinomio di grado n generico.
Un sondaggio nel forum su quanti conoscono quella formula
avrebbe un risultato impietoso...per qualcuno.
karl
si, però io nn mi fiderei di un sondaggio in un forum, soprattutto quando non si chiede un'opinione ma la conoscenza di qualcosa
Bella prova di stima per gli amici del Forum!
karl
karl
si, amici del menga!
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