Totale limitatezza: palle aperte o chiuse?
Ho un dubbio con la nozione di totale limitatezza di uno spazio metrico.
Uno sottoinsieme E di uno spazio metrico (X,d) si dice totalmente limitato se per ogni $ \epsilon >0 $ E può essere coperto da un insieme finito di palle di raggio $ \epsilon $ con centro in E.
Il mio dubbio è: queste palle devono essere aperte o chiuse? Trovandole aperte o chiuse su fonti diverse penso che sia equivalente, ossia che E sia totalmente limitato con palle chiuse se e solo se lo sia con palle aperte. Questa mia supposizione è avvalorata dal fatto che queste diverse fonti riescono a dimostrare l'equivalenza tra compattezza, compattezza sequenziale e "totale limitatezza e completezza" di uno spazio metrico usando qualcuna la totale limitatezza con le palle aperte e qualcun altra quella con le palle chiuse.
E' ovvio che la totale limitatezza con le palle aperte implichi quella con le palle chiuse ma come quella con le palle chiuse può implicare quella con le palle aperte?
Grazie mille.
Uno sottoinsieme E di uno spazio metrico (X,d) si dice totalmente limitato se per ogni $ \epsilon >0 $ E può essere coperto da un insieme finito di palle di raggio $ \epsilon $ con centro in E.
Il mio dubbio è: queste palle devono essere aperte o chiuse? Trovandole aperte o chiuse su fonti diverse penso che sia equivalente, ossia che E sia totalmente limitato con palle chiuse se e solo se lo sia con palle aperte. Questa mia supposizione è avvalorata dal fatto che queste diverse fonti riescono a dimostrare l'equivalenza tra compattezza, compattezza sequenziale e "totale limitatezza e completezza" di uno spazio metrico usando qualcuna la totale limitatezza con le palle aperte e qualcun altra quella con le palle chiuse.
E' ovvio che la totale limitatezza con le palle aperte implichi quella con le palle chiuse ma come quella con le palle chiuse può implicare quella con le palle aperte?
Grazie mille.
Risposte
E si, sono la stessa cosa. Uno di solito prende le palle aperte per compatibilità con la definizione di compattezza che va ad aperti, ma vanno bene anche quelle chiuse, per l'arbitrarietà di $epsilon$. La dimostrazione è semplice.
Prendiamo uno spazio metrico $X$, un sottoinsieme $E$, $epsilon>0$. Se esiste una famiglia di palle chiuse $F_1...F_n$ di raggio $epsilon$ tale che $E \subsetF_1uu..uuF_n$ allora, per ogni $epsilon'>epsilon$, la famiglia $B_1...B_n$ di palle aperte con gli stessi centri delle precedenti e raggio $epsilon'$ è tale che $E\subsetB_1uu...uuB_n$.
Viceversa se esiste una famiglia $B_1...B_n$ di palle aperte di raggio $epsilon$ tale che $E\subsetB_1uu...uuB_n$, allora detta $F_1...F_n$ la famiglia corrispondente di palle chiuse, con gli stessi centri e lo stesso raggio, risulta $E\subset F_1uu...uuF_n$.
In conclusione, se $E$ è totalmente limitato "per palle aperte", allora chiaramente lo è anche per palle chiuse; viceversa se $E$ è totalmente limitato "per palle chiuse" allora, preso un ricoprimento $F_1...F_n$ di raggio $epsilon/2$, possiamo trovare un ricoprimento $B_1...B_n$ di raggio $epsilon$.
__________________
Negli spazi metrici, le proprietà esprimibili in termini di palle con raggio arbitrario in genere non dipendono dalla scelta di palle aperte o chiuse.
[OT] Non trovi anche tu che il termine "palle" sia bruttissimo?
Prendiamo uno spazio metrico $X$, un sottoinsieme $E$, $epsilon>0$. Se esiste una famiglia di palle chiuse $F_1...F_n$ di raggio $epsilon$ tale che $E \subsetF_1uu..uuF_n$ allora, per ogni $epsilon'>epsilon$, la famiglia $B_1...B_n$ di palle aperte con gli stessi centri delle precedenti e raggio $epsilon'$ è tale che $E\subsetB_1uu...uuB_n$.
Viceversa se esiste una famiglia $B_1...B_n$ di palle aperte di raggio $epsilon$ tale che $E\subsetB_1uu...uuB_n$, allora detta $F_1...F_n$ la famiglia corrispondente di palle chiuse, con gli stessi centri e lo stesso raggio, risulta $E\subset F_1uu...uuF_n$.
In conclusione, se $E$ è totalmente limitato "per palle aperte", allora chiaramente lo è anche per palle chiuse; viceversa se $E$ è totalmente limitato "per palle chiuse" allora, preso un ricoprimento $F_1...F_n$ di raggio $epsilon/2$, possiamo trovare un ricoprimento $B_1...B_n$ di raggio $epsilon$.
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Negli spazi metrici, le proprietà esprimibili in termini di palle con raggio arbitrario in genere non dipendono dalla scelta di palle aperte o chiuse.
[OT] Non trovi anche tu che il termine "palle" sia bruttissimo?
Grazie dissonance, come al solito hai risolto i miei dubbi! 
Essendo un testone tentavo di dimostrarlo con lo stesso $\epsilon$.
Riguardo al termine palle, qualcuno preferisce parlare di dischi ma io ho fissato in testa $RR^3$ che poi è lo spazio dove viviamo...
Mi sembra proprio una forzatura parlare di dischi: se poi il termine palle ha altri significati, pazienza!
Essendo un testone tentavo di dimostrarlo con lo stesso $\epsilon$.
Riguardo al termine palle, qualcuno preferisce parlare di dischi ma io ho fissato in testa $RR^3$ che poi è lo spazio dove viviamo...
Mi sembra proprio una forzatura parlare di dischi: se poi il termine palle ha altri significati, pazienza!
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