Topologizzare $RR^\infty$

[Benihime1]

Ciao a tutti
A lezione il professore ha definito $RR^\infty$ come l'insieme delle successioni reali nulle da un certo punto in poi. Poi ha definito delle topologie su questo insieme,ma mi trovo in difficoltà a capire come sono fatti gli aperti di tali topologie;vorrei che mi aiutaste.

1) Topologia indotta dalla Box Topology di $RR^(NN)$
Sia $RR^(NN)$ l'isieme di tutte le successioni
su $RR^(NN)$ il professore ha definito la box topology a partire dagli intorni: se $(x_n)_(n in NN)$ è una successione, un suo intorno è $\prod_{n in NN} (x_n-\epsilon,x_n+\epsilon)$
dunque, se $T_(RR^(NN))(x_n)$ è l'insieme degli intorni di $x_n$, gli aperti sono definiti come
${U in RR^(NN): U in T_(RR^(NN))(y_n)$ $AA y_n in U}$
Io già ho delle grosse difficoltà a immaginarmi,tramite questa definizione,gli aperti a partire dagli intorni,figuriamoci poi passare dagli aperti di $RR^(NN)$ alla topologia indotta su $RR^\infty$

2)Topologia indotta dalla Topologia Prodotto di $RR^(NN)$
gli aperti della topologia prodotto in $RR^(NN)$ ci sono stati definiti come
$A=\prod_{n in NN} A_n$ con ${(A_n=RR,text{per quasi ogni } n),(A_n text{aperto di}RR,text{per un num finito di indici}):}$
allora per definizione di topologia indotta gli aperti in $RR^\infty$ sono del tipo $B=A nn RR^\infty$ con $A$ aperto di $RR^(NN)$
Ma da questa scrittura non riesco passare a una definizioneesplicita degli aperti di $RR^\infty$

3)Topologia forte dalle inclusioni
vale a dire la topologia forte rispetto alle seguenti funzioni
$f_n:RR^n -> RR^\infty$ con $f_n(x_1,...,x_n)=(x_1,...,x_n,0,...,0,...)$
è corretto allora dire che tale topologia è
${A:(f_n)^(-1)(A) text{ aperto in} RR^n text{per qualche n}}={Axx{0}xx...xx{0}xx...text{con A aperto in} RR^n text{per qualche n}}$ ?

4)Topologia forte delle seguenti mappe
le mappe sono $f_n:RR -> RR^\infty$ con $f_n(x)=(0,...,0,x,0,...,0,...)$ con x all'n-esimo poto
allora sarei tentata di dire che gi aperti sono
${{0}xx...xx{0}xxAxx{0}xx...xx{0}xx... text{con A aperto in} RR}$
ma mi sembra che se definissi la topologia come insieme degli insiemi di questo tipo,non ci sarebbe la chiusura per unioni finite. Dove sbaglio?

5)Topologia indotta da una metrica
se $x in RR^\infty$, avrà per qualche $N$ tutte le componenti $x_n=0$ per $n>N$
allora, se denoto con $\bar x$ il vettore $x$ troncato delle sue componenti nulle, $\bar x in RR^N$
e fra gli elementi di $RR^N$ posso imporre la metrica euclidea.
Imponendo in questo modo la metrica su $RR^\infty$ dovrei descrivere gli aperti, ma non ho la minima idea di come immaginarmeli

scusate il papiro ma aiutatemi per favore

[dissonance]

Ti conviene visualizzare il grafico di una successione, più o meno come ti immagini il grafico di una funzione di variabile continua. Solo che con le successioni il grafico è fatto da puntini staccati invece che da linee curve. Vedi ad esempio i grafici che puoi trovare sul sito di Paul Dawkins:

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... ences.aspx

Nella box topology, un intorno di raggio \(\epsilon\) di una successione si può visualizzare disegnando attorno ad ogni puntino un segmento verticale di raggio \(\epsilon\) e centro nel puntino. Un'altra successione sarà nell'intorno se e solo se ogni suo puntino cade in uno dei segmenti.

Nella product topology, le cose sono solo apparentemente simili. Una successione non ha un solo intorno di raggio \(\epsilon\), ma infiniti. Ognuno di questi è rappresentabile scegliendo un numero finito di termini della successione e disegnando un segmentino di raggio \(\epsilon\) come nell'esempio precedente. Eccetera.