Topologie non usuali su R.

[oblivioso]

Si prenda R con la usuale topologia tau e sia sigma la topologia (forte) su R indotta dalla inclusione di
Q (con topologia indotta da tau ) in R.

Descrivere la topologia sigma , per esempio caratterizzando gli aperti. R risulta separabile, Hausdroff, numerabile con sigma? Discutere poi le proprietà di connessione di R con \sigma.

Innanzitutto secondo voi una topologia indotta per inclusione al rovescio come in questo in caso, significa semplicemente tenere gli aperti di Q nella topologia tau (ri)portandoli però in R?

Secondo, come procedereste per la risoluzione di tali quesiti? Ho difficoltà nell'approccio di tali quesiti anche in altre analoghe situazioni (studio di R con topologie diverse da quella usuale) non riuscendo ad individuare i risultati principali che portano a fare tali considerazioni.

Grazie per l'aiuto.

[j18eos]

Sia:
\[
i:\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}
\]
l'inclusione di \(\displaystyle\mathbb{Q}\) in \(\displaystyle\mathbb{R}\); dato che non è stato affermato diversamente, su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) si consideri la topologia indotta da \(\displaystyle\tau\): chi è per definizione \(\displaystyle\sigma\)?

[oblivioso]

Dovrebbe essere la minima topologia su R che rende l'inclusione continua giusto?

[j18eos]

Sì; quindi:
\[
A\subseteq\mathbb{R},\,A\in\sigma\iff\dots
\]