Topologie metrizzabili vs. non metrizzabili: def
Ciao, amici! Trovo definita una topologia su $X$ come "una famiglia non vuota \(\mathcal{T}\) di sottoinsiemi di $X$, che si chiamano insiemi aperti della topologia, soddisfacenti alle seguenti condizioni:
(A1) \(\emptyset\) e $X$ sono insiemi aperti;
(A2) l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto;
(A3) l'intersezione di due insiemi aperti qualsiasi è un insieme aperto. [E. Sernesi, Geometria II, cap. 2.]"
Uno spazio topologico \((X,\mathcal{T})\) è un insieme su cui sia stata assegnata una topologia \(\mathcal{T}\). Esso è metrizzabile se esiste su $X$ una distanza che induce la topologia \(\mathcal{T}\).
Trovo poi detto che esistono spazi topologici non metrizzabili.
Io so che un sottoinsieme aperto $A\subset X$ rispetto a una distanza $d$ è tale perché esiste una distanza $d$ in modo che \(\forall x\in A\text{ }\exists r(x)>0: D_{r(x)}(x)\subset A\) dove \(D_{r(x)}(x)=\{y\in X:d(x,y)
Forse che quando si parla di insiemi aperti della topologia non si intende necessariamente aperti secondo la definizione per cui \(\forall x\in A\text{ }\exists r(x): D_{r(x)}(x)\subset A\)? Mi sembra di aver capito che sia così cercando affannosamente indizi su Internet, ma preferisco chiedere conferma alla colta platea di matematicamente.it, prima di convincermi di qualcosa di completamente sbagliato proprio ai miei primi passi nel meraviglioso mondo della topologia...
Grazie di cuore a tutti!
(A1) \(\emptyset\) e $X$ sono insiemi aperti;
(A2) l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto;
(A3) l'intersezione di due insiemi aperti qualsiasi è un insieme aperto. [E. Sernesi, Geometria II, cap. 2.]"
Uno spazio topologico \((X,\mathcal{T})\) è un insieme su cui sia stata assegnata una topologia \(\mathcal{T}\). Esso è metrizzabile se esiste su $X$ una distanza che induce la topologia \(\mathcal{T}\).
Trovo poi detto che esistono spazi topologici non metrizzabili.
Io so che un sottoinsieme aperto $A\subset X$ rispetto a una distanza $d$ è tale perché esiste una distanza $d$ in modo che \(\forall x\in A\text{ }\exists r(x)>0: D_{r(x)}(x)\subset A\) dove \(D_{r(x)}(x)=\{y\in X:d(x,y)
Forse che quando si parla di insiemi aperti della topologia non si intende necessariamente aperti secondo la definizione per cui \(\forall x\in A\text{ }\exists r(x): D_{r(x)}(x)\subset A\)? Mi sembra di aver capito che sia così cercando affannosamente indizi su Internet, ma preferisco chiedere conferma alla colta platea di matematicamente.it, prima di convincermi di qualcosa di completamente sbagliato proprio ai miei primi passi nel meraviglioso mondo della topologia...
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
La seconda che hai detto, quando si parla di topologia non si intende necessariamente.... Le tue perplessita' sono piu' che lecite, ma per trovare una risposta esauriente devi avanzare non poco ancora nello studio. ciao
La definizione di aperto è indipendente dalla definizione di distanza. Dato uno spazio topologico $(X,\tau)$, un aperto è semplicemente un elemento di $\tau$. Se hai uno spazio metrico, allora la funzione distanza definisce naturalmente su $X$ una topologia (indichiamola con $\tau_d$), ovvero una famiglia di insiemi che soddisfa (1),(2),(3), ma senza nessuna relazione con $\tau$. In sostanza, tu hai uno spazio topologico, ci definisci una distanza, ma non è detto che la topologia indotta dalla distanza sia la stessa che avevi sullo spazio topologico.
Esempio: su $\RR$ hai la naturale topologia euclidea, indotta dalla distanza euclidea. Puoi però anche avere la topologia discreta, indotta dalla distanza discreta. Sono due diverse topologie indotte da diverse distanze. Inoltre sempre su $\RR$ puoi definire topologie che non possono essere indotte da metriche:
Un esempio facile è la topologia banale, in cui gli aperti sono solo due, ovvero $\emptyset$ e l'intero $\RR$. E' immediato che questa famiglia di due aperti soddisfa (1)(2)(3). Supponi che esista una qualche distanza $d$, tale che $\tau_d = \{ \emptyset, \RR\}$. E' abbastanza intuitivo che se $d$ esistesse dovrebbe essere molto strana. Infatti, dato un punto di $\RR$ (diciamo $0$ per semplicità) e un $\epsilon >0$, la palletta $D_\epsilon(0)$ deve essere l'intero $\RR$ (perché contiene $0$, quindi non può essere $\emptyset$, e l'unico altro aperto è $\RR$. Sia $r = d(0,1)$. La palletta di centro $0$ e raggio $r/2$ contiene $0$, quindi non può essere l'aperto $\emptyset$, però non contiene $1$, quindi non può essere l'aperto $\RR$. Questa è una contraddizione, quindi non esiste nessuna metrica che induce la topologia banale.
Un esempio importante di topologia non metrizzabile su $\RR$ è quella delle semirette sinistre (o equivalentemente quella della selle semirette destre), in cui la famiglia degli aperti è data da
\[ \mathcal{A} = \{ (-\infty, a) : a \in \mathbb{R} \} . \]
La non-metrizzabilità si dimostra con un argomento analogo a quello usato per la topologia banale, considerando che una palletta deve contenere tutti numeri minori del suo centro. Puoi provare a dimostrarlo per esercizio.
Per concludere, una topologia $\tau$ è indotta se esiste una funzione $d$ tale che le pallette definite da $d$ sono aperte (cioè sono elementi di $\tau$) e per ogni elemento $A \in \tau$ e per ogni punto $a \in A$, esiste una palletta con centro $a$ interamente contenuta in $A$. Se non esiste alcuna metrica che può fare questo (come succede nei due esempi precedenti) allora la topologia si dice non-metrizzabile.
C'è un bellissimo libro, forse un po' difficile se uno non ha studiato almeno le cose basilari di topologia, ma che contiene un sacco di esempi e controesempi su cose strane che possono succedere in topologia. Si tratta di "Counterexamples in Topology" di Steen & Seebach.
Esempio: su $\RR$ hai la naturale topologia euclidea, indotta dalla distanza euclidea. Puoi però anche avere la topologia discreta, indotta dalla distanza discreta. Sono due diverse topologie indotte da diverse distanze. Inoltre sempre su $\RR$ puoi definire topologie che non possono essere indotte da metriche:
Un esempio facile è la topologia banale, in cui gli aperti sono solo due, ovvero $\emptyset$ e l'intero $\RR$. E' immediato che questa famiglia di due aperti soddisfa (1)(2)(3). Supponi che esista una qualche distanza $d$, tale che $\tau_d = \{ \emptyset, \RR\}$. E' abbastanza intuitivo che se $d$ esistesse dovrebbe essere molto strana. Infatti, dato un punto di $\RR$ (diciamo $0$ per semplicità) e un $\epsilon >0$, la palletta $D_\epsilon(0)$ deve essere l'intero $\RR$ (perché contiene $0$, quindi non può essere $\emptyset$, e l'unico altro aperto è $\RR$. Sia $r = d(0,1)$. La palletta di centro $0$ e raggio $r/2$ contiene $0$, quindi non può essere l'aperto $\emptyset$, però non contiene $1$, quindi non può essere l'aperto $\RR$. Questa è una contraddizione, quindi non esiste nessuna metrica che induce la topologia banale.
Un esempio importante di topologia non metrizzabile su $\RR$ è quella delle semirette sinistre (o equivalentemente quella della selle semirette destre), in cui la famiglia degli aperti è data da
\[ \mathcal{A} = \{ (-\infty, a) : a \in \mathbb{R} \} . \]
La non-metrizzabilità si dimostra con un argomento analogo a quello usato per la topologia banale, considerando che una palletta deve contenere tutti numeri minori del suo centro. Puoi provare a dimostrarlo per esercizio.
Per concludere, una topologia $\tau$ è indotta se esiste una funzione $d$ tale che le pallette definite da $d$ sono aperte (cioè sono elementi di $\tau$) e per ogni elemento $A \in \tau$ e per ogni punto $a \in A$, esiste una palletta con centro $a$ interamente contenuta in $A$. Se non esiste alcuna metrica che può fare questo (come succede nei due esempi precedenti) allora la topologia si dice non-metrizzabile.
C'è un bellissimo libro, forse un po' difficile se uno non ha studiato almeno le cose basilari di topologia, ma che contiene un sacco di esempi e controesempi su cose strane che possono succedere in topologia. Si tratta di "Counterexamples in Topology" di Steen & Seebach.
Wow, ragazzi: veramente chiari ed esaurienti! 
Grazie di cuore!
Grazie di cuore!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo