Topologie metrizzabili
Non riesco a dimostrare queste affermazioni:
1) Sia $X$ uno spazio topologico con la topologia banale. Allora $X$ è metrizzabile se e solo se $|X| = 1$.
Intuitivamente mi sembra vero, poiché per esempio se prendo $X = {1,2}$, allora anche l'insieme ${1}$ è aperto, poiché per $epsilon$ abbastanza piccolo la palla $B^d(1,\epsilon) = {q in X | d(1,q) < epsilon}$ sarà uguale a ${1}$, e quindi ${1}$ è aperto per ogni metrica d.
Ma in generale?
2) $RR$ con la topologia cofinita non è metrizzabile perché non è Hausdorff.
Cosa c'entra il fatto che $RR$ debba essere Hausdorff?
Grazie!
1) Sia $X$ uno spazio topologico con la topologia banale. Allora $X$ è metrizzabile se e solo se $|X| = 1$.
Intuitivamente mi sembra vero, poiché per esempio se prendo $X = {1,2}$, allora anche l'insieme ${1}$ è aperto, poiché per $epsilon$ abbastanza piccolo la palla $B^d(1,\epsilon) = {q in X | d(1,q) < epsilon}$ sarà uguale a ${1}$, e quindi ${1}$ è aperto per ogni metrica d.
Ma in generale?
2) $RR$ con la topologia cofinita non è metrizzabile perché non è Hausdorff.
Cosa c'entra il fatto che $RR$ debba essere Hausdorff?
Grazie!
Risposte
La risposta vale per tutti e due.
Se uno spazio e' metrizzabile (i.e., esiste una metrica che iduce la top data) allora e' di Hausdorff.
E nessuno dei due casi hai spazio di Hausdorff (nel primo caso, ovviamente, se X contiene piu' di un elemento).
Se uno spazio e' metrizzabile (i.e., esiste una metrica che iduce la top data) allora e' di Hausdorff.
E nessuno dei due casi hai spazio di Hausdorff (nel primo caso, ovviamente, se X contiene piu' di un elemento).
Ah ok...e come si dimostra che metrizzabile $=>$ Hausdorff (T2)?
e' un esercizio che devi saper fare
Ci provo:
Se $(X, \tau)$ è uno spazio metrizzabile, allora la topologia è indotta da una metrica $d$. Il che significa che se hai due punti $p \ne q$, e fissando $d(p,q) = x \ne 0$ per definizione di metrica, allora le palle $B^d(p,x/2)$ e $B^d(q,x/2)$ saranno aperte e disgiunte.
Corretto?
Se $(X, \tau)$ è uno spazio metrizzabile, allora la topologia è indotta da una metrica $d$. Il che significa che se hai due punti $p \ne q$, e fissando $d(p,q) = x \ne 0$ per definizione di metrica, allora le palle $B^d(p,x/2)$ e $B^d(q,x/2)$ saranno aperte e disgiunte.
Corretto?
certo
sono aperte per risultato generale sulla topologia indotta da una metrica (conseguenza della disuguaglianza triangolare)
sono disgiunte per la disuguaglianza triangolare
sono aperte per risultato generale sulla topologia indotta da una metrica (conseguenza della disuguaglianza triangolare)
sono disgiunte per la disuguaglianza triangolare
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