Topologie di Zariski a confronto
Sia $K$ un campo e sia $A=K[X_1,...,X_n]$ l'anello dei polinomi a coefficienti in $K$ in $n$ indeterminate.
Sia $Spec A$ lo spettro primo di $A$, ossia l'insieme degli ideali primi dell'anello $A$. (Un ideale primo deve essere proprio)
Per ogni $I \leq A$ ideale di $A$ definiamo due tipi di insiemi:
$V(I) = { P \in Spec A | P supseteq I }$ l'insieme degli ideali primi di $A$ che contengono $I$,
$W(I) = { x in K^n | \forall f in I, f(x) = 0 }$ l'insieme dei punti di $K^n$ che annullano i polinomi di $I$.
Infine definiamo
$\tau = { Spec A - V(I) \ \subseteq Spec A \ | \ I \leq A }
$ tau' = {K^n - W(I) \ \subseteq K^n \ | \ I \leq A}.
Allora si può dimostrare che $tau$ è una topologia su $Spec A$ e $tau'$ è una topologia su $K^n$.
Vorrei capire che relazione c'è tra queste due topologie, che si dicono entrambi di Zariski.
Sia $Phi : K^n \rightarrow Spec A \ , \ x \mapsto { f in A | f(x) = 0}$.
Allora si vede che tale mappa è ben posta e continua: $\forall I \leq A, \ Phi^{-1} (V(I) ) = W(I)$.
Ma credo che sia falso, in generale, che questa mappa sia un omeomorfismo: infatti se considero lo spazio $QQ$ e l'anello $QQ[X]$, l'ideale $(X^2 + 1)$ non appartiene all'immagine dell'applicazione $Phi$.
Qualcuno sa dirmi qualcos'altro? Se $K$ è algebricamente chiuso, l'applicazione $Phi$ è un omeomorfismo?
Sia $Spec A$ lo spettro primo di $A$, ossia l'insieme degli ideali primi dell'anello $A$. (Un ideale primo deve essere proprio)
Per ogni $I \leq A$ ideale di $A$ definiamo due tipi di insiemi:
$V(I) = { P \in Spec A | P supseteq I }$ l'insieme degli ideali primi di $A$ che contengono $I$,
$W(I) = { x in K^n | \forall f in I, f(x) = 0 }$ l'insieme dei punti di $K^n$ che annullano i polinomi di $I$.
Infine definiamo
$\tau = { Spec A - V(I) \ \subseteq Spec A \ | \ I \leq A }
$ tau' = {K^n - W(I) \ \subseteq K^n \ | \ I \leq A}.
Allora si può dimostrare che $tau$ è una topologia su $Spec A$ e $tau'$ è una topologia su $K^n$.
Vorrei capire che relazione c'è tra queste due topologie, che si dicono entrambi di Zariski.
Sia $Phi : K^n \rightarrow Spec A \ , \ x \mapsto { f in A | f(x) = 0}$.
Allora si vede che tale mappa è ben posta e continua: $\forall I \leq A, \ Phi^{-1} (V(I) ) = W(I)$.
Ma credo che sia falso, in generale, che questa mappa sia un omeomorfismo: infatti se considero lo spazio $QQ$ e l'anello $QQ[X]$, l'ideale $(X^2 + 1)$ non appartiene all'immagine dell'applicazione $Phi$.
Qualcuno sa dirmi qualcos'altro? Se $K$ è algebricamente chiuso, l'applicazione $Phi$ è un omeomorfismo?
Risposte
sulla seconda parte (discussione about $Phi$) prova a cercare come riferimento il teorema degli zeri di hilbert (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... di_Hilbert) si crea una biezione bellissima sulla quale poi puoi lavorare. Se ti interessa ho qualche appunto in più sul computer 
Non so quanto soddisfi la tua ricerca, però forse può aiutarti un attimo. Spero di qualche aiuto...
Non so quanto soddisfi la tua ricerca, però forse può aiutarti un attimo. Spero di qualche aiuto...
Quando il campo è algebricamente chiuso, si ha una bigezione tra i chiusi si Zariski e gli ideali radicali.
Ma con la mia $Phi$ cosa c'entra?
Ma con la mia $Phi$ cosa c'entra?
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