Topologia;problema con dimostrazione
su un libro ho trovato questo esercizio:
sia $X$ spazio topologico,supponiamo ogni punto di $X$ ammetta un'intorno compatto.
allora la famiglia di tutti i compatti di $X$ forma un ricoprimento fondamentale di $X$(cioè $AsubeX$ è aperto se e solo se $AnnK$ è aperto in $K$ per ogni $K$ compatto.
la mia dimostrazione non sfrutta il fatto che gli insiemi siano compatti; voglio capire se ci sono errori,perchè io non ne vedo.
supponiamo che ogni punto di $X$ ammetta intorno compatto.
sia ora $AsubeX$ tale che $AnnK$ sia aperto in $K$ per ogni $K$ compatto.
sia $ainA$; voglio far vedere che $A$ contiene un'intorno di $a$ e che quindi $A$ è aperto in $X$,arrivando facilmente alla tesi tramite la definizione di ricoprimento fondamentale.
sia quindi $K$ un'intorno compatto di $a$. sappiamo che $AnnK$ è un'aperto di $K$,quindi esiste $B$ aperto in $X$ tale che $BnnK=AnnK$.
abbiamo detto che $K$ è un'intorno di $a$,quindi contiene un $C$ aperto tale che $ainC$.
sia ora $BnnC$;questo insieme è intersezione di aperti quindi aperto;inoltre contiene $a$.
ma,siccome $CsubeK$ allora $(BnnC)sube(BnnK)=(AnnK)$.
abbiamo quindi che $ain(BnnC)sube(AnnK)subeA$; in particolare per ogni $ainA$ esiste un'intorno di $a$ contenuto in $A$; quindi $A$ è aperto.
vorrei capire se è la dimostrazione ad essere scorretta o se l'enunciato è vero anche se al posto di "compatti" viene scritto "insiemi qualsiasi prefissati".
sia $X$ spazio topologico,supponiamo ogni punto di $X$ ammetta un'intorno compatto.
allora la famiglia di tutti i compatti di $X$ forma un ricoprimento fondamentale di $X$(cioè $AsubeX$ è aperto se e solo se $AnnK$ è aperto in $K$ per ogni $K$ compatto.
la mia dimostrazione non sfrutta il fatto che gli insiemi siano compatti; voglio capire se ci sono errori,perchè io non ne vedo.
supponiamo che ogni punto di $X$ ammetta intorno compatto.
sia ora $AsubeX$ tale che $AnnK$ sia aperto in $K$ per ogni $K$ compatto.
sia $ainA$; voglio far vedere che $A$ contiene un'intorno di $a$ e che quindi $A$ è aperto in $X$,arrivando facilmente alla tesi tramite la definizione di ricoprimento fondamentale.
sia quindi $K$ un'intorno compatto di $a$. sappiamo che $AnnK$ è un'aperto di $K$,quindi esiste $B$ aperto in $X$ tale che $BnnK=AnnK$.
abbiamo detto che $K$ è un'intorno di $a$,quindi contiene un $C$ aperto tale che $ainC$.
sia ora $BnnC$;questo insieme è intersezione di aperti quindi aperto;inoltre contiene $a$.
ma,siccome $CsubeK$ allora $(BnnC)sube(BnnK)=(AnnK)$.
abbiamo quindi che $ain(BnnC)sube(AnnK)subeA$; in particolare per ogni $ainA$ esiste un'intorno di $a$ contenuto in $A$; quindi $A$ è aperto.
vorrei capire se è la dimostrazione ad essere scorretta o se l'enunciato è vero anche se al posto di "compatti" viene scritto "insiemi qualsiasi prefissati".
Risposte
La tua dimostrazione e' giusta! Funziona anche con insiemi qualsiasi prefissati. Azzardando un'ipotesi, non credo che l'interesse di prendere spazi compatti si manifesti a questo livello (cf. qui, gli esempi).
Secondo me la "vera" proposizione è questa.
Proposizione Sia $X$ uno spazio topologico e sia $ccB$ una famiglia di parti di $X$ contenente un intorno di ogni punto di $X$. Allora un sottoinsieme $A$ di $X$ è aperto se e solo se $A nn B$ è aperto in $B$ per ogni $B \in ccB$.
Quindi nel caso di paolo.papadia la compattezza degli intorni non è rilevante in sé; semplicemente, in questo caso la famiglia $ccB$ è la famiglia degli intorni compatti dei punti di $X$.
P.S.:
Proposizione Sia $X$ uno spazio topologico e sia $ccB$ una famiglia di parti di $X$ contenente un intorno di ogni punto di $X$. Allora un sottoinsieme $A$ di $X$ è aperto se e solo se $A nn B$ è aperto in $B$ per ogni $B \in ccB$.
Quindi nel caso di paolo.papadia la compattezza degli intorni non è rilevante in sé; semplicemente, in questo caso la famiglia $ccB$ è la famiglia degli intorni compatti dei punti di $X$.
P.S.:
"paolo.papadia":Un intorno, senza apostrofo.
un'intorno
si era quello che pensavo anch'io(intorno escluso XD),ma non riuscivo ad esserne sicuro perchè ho iniziato da poco a studiare topologia..
grazie mille,mi avete tolto un bel dubbio
grazie mille,mi avete tolto un bel dubbio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo