Topologia,cioè?

Mrhaha
Salve ragazzi! Sto studiando un pò di topologia in analisi II,ma vedendo un video ho visto che Poincarè diceva che era importantissima e fondamentale soprattutto per la geometria! Ma perchè? Qual è il suo uso?

Risposte
vict85
Tenendo conto che il concetto di continuità è topologico direi che tutta l'analisi la usa massicciamente. Inoltre sono fondamentali i concetti di connessione, compattezza e altri concetti collegati. Poi c'è la topologia algebrica. In generale la topologia permette di analizzare alcune proprietà insiemistiche di uno spazio e come queste cambiano a seguito di una qualche deformazione continua. Per analisi 2 l'importante è sapere che permette una generalizzazione dei concetti affrontati in analisi 1 e inoltre più avanti vedrai come permetterà di usare metodi creati per lavorare su spazi euclidei anche a spazi molto più strani come quelli delle funzioni. La generalità e la semplicità degli assiomi della topologia la rendono molto versatile e permettono di costruire una topologia su quasi qualsiasi cosa.

Mrhaha
Capisco! Quindi in realtà potrei definire una topoligica in quasi tutti gli spazi,anche in $ CC $ ?

vict85
Beh, \(\displaystyle\mathbb{C}\) topologicamente parlando è praticamente \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)... La sua topologia si definisce in modo molto simile a quella su \(\displaystyle\mathbb{R}\).

Per capirci puoi costruire una topologia sullo spazio delle funzioni continue definite su un intervallo chiuso \(\displaystyle[a,b]\subset \mathbb{R}\) a \(\displaystyle\mathbb{R}\) e più in generale su un qualsiasi compatto. È tra l'altro una metrica. Infatti consideri come distanza tra le funzioni la funzione \(\displaystyle d(f,g) = \max_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)| \) (la distanza massima tra le due funzioni al variare di $t$). Incontrerai queste cose nei prossimi esami di analisi.

In realtà puoi definire una topologia su ogni insieme ma non sempre queste sono significative.

Mrhaha
In effetti l'ha detto anche il prof,spero di capire quando queste topologie in realtà sono (come dici tu) significative!

garnak.olegovitc1

Mrhaha
Wkipedia insegna sempre! :D

menale1
Eh si , nei nostri studi si sta dimostrando quasi una discriminante !!

garnak.olegovitc1
Salve menale,

"menale":
discriminante !!


in positivo o negativo?
Cordiali saluti

menale1
In senso positivo , garnak ! Attraverso gli elementi di topologia si sviluppano tutte le basi dell'analisi contemporanea proprio a partire dal teorema di Banach caccioppoli !

garnak.olegovitc1
Salve menale,

"menale":
Attraverso gli elementi di topologia si sviluppano tutte le basi dell'analisi contemporanea proprio a partire dal teorema di Banach caccioppoli !


condivido.
Cordiali saluti

menale1
Ormai tra me e Garnak c'è una sorta di simbiosi :D

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