[Topologia]Applicazione continua e componenti
Stavo studiando questa proposizione:
Sia [tex]$f: S_1 \times S_2 \to S'[/tex] continua con [tex](S_1 \times S_1)[/tex] spazio topologico prodotto ed [tex]$(S',\mathcal{A})[/tex] spazio topologico.
Allora [tex]$f_{x_0}:S_2 \to S' t.c. y \in S_2 \to f(x_0,y) \forall x_0 \in S_1[/tex] è continua.
E ciò è vero in quanto [tex]$f_{x_0}[/tex] è composta di funzioni continue.
Ma io mi chiedo: Vale il viceversa? Cioè se [tex]$f_{x_0}[/tex] è continua, si puù dedurre che [tex]f[/tex] lo è?
Mi ricordo del fatto che [tex]\forall x_0 \in S_1:\{x_0\} \times S_2[/tex] è omeomorfo a [tex]S_2[/tex] e detta $P_2$ l'omeomorfismo risulta [tex]$f(x,y)=(f_x \circ P_2)(x,y)[/tex], che sono continue quindi mi verrebbe da dire di sì. Tuttavia non ne sono convinto.
Che dite?
Ovviamente analogo discorso si può fare su $S_2$.
EDIT: errori di battitura.
Sia [tex]$f: S_1 \times S_2 \to S'[/tex] continua con [tex](S_1 \times S_1)[/tex] spazio topologico prodotto ed [tex]$(S',\mathcal{A})[/tex] spazio topologico.
Allora [tex]$f_{x_0}:S_2 \to S' t.c. y \in S_2 \to f(x_0,y) \forall x_0 \in S_1[/tex] è continua.
E ciò è vero in quanto [tex]$f_{x_0}[/tex] è composta di funzioni continue.
Ma io mi chiedo: Vale il viceversa? Cioè se [tex]$f_{x_0}[/tex] è continua, si puù dedurre che [tex]f[/tex] lo è?
Mi ricordo del fatto che [tex]\forall x_0 \in S_1:\{x_0\} \times S_2[/tex] è omeomorfo a [tex]S_2[/tex] e detta $P_2$ l'omeomorfismo risulta [tex]$f(x,y)=(f_x \circ P_2)(x,y)[/tex], che sono continue quindi mi verrebbe da dire di sì. Tuttavia non ne sono convinto.
Che dite?
Ovviamente analogo discorso si può fare su $S_2$.
EDIT: errori di battitura.
Risposte
Infatti è no. Quella che dici si chiama a volte "continuità nelle due variabili separatamente" ed è un classico inghippo topologico: una funzione continua nelle due variabili congiuntamente lo è nelle due variabili separatamente ma NON vale il viceversa. Consulta Munkres Topology, §18 esercizio 11.
Grazie dissonance. Ho controllato il riferimento che mi hai fornito, tutta via non mostra come mai non vale ciò. Sono convinto che nel mio discorso ci sia un errore (visto che arrivo alla conclusione sbagliata), ma non riesco a scovarlo.
Grazie ancora
Grazie ancora
Il problema è qui:
$f(x, y)=(f_x circ P_2)(x,y)$.
Tu scrivi così ma questo non significa che $f$ sia la composizione delle due funzioni a destra: questo perché $f_x$ dipende da $x$. Come regola nasometrica, quando usi il simbolo $circ$ non metterci le variabili:
$f circ g$ NON $f circ g (x)$.
Se ci metti le variabili usa le parentesi:
$f(g(x))$.
Nel nostro caso usando le parentesi abbiamo
$f(x, y)=f_x(P_2(x, y))$
e non possiamo passare ad una scrittura con il pallino, perché a sinistra non abbiamo una sola funzione ma una famiglia di funzioni dipendenti dal parametro $x$, che a sua volta è una variabile. E' una composizione più complicata della semplice $f circ g$, in cui la funzione più a sinistra è fissata.
Spero di essermi spiegato bene, ne dubito, purtroppo sono molto stanco.
Comunque sul Munkres si parla dell'argomento, nel paragrafo di cui quell'esercizio forma la conclusione. Questo fatto della continuità nelle variabili separatamente si vede bene in un piano. Se una funzione definita sul piano e a valori reali è continua nelle due variabili separatamente in un punto $(x, y)$, vuol dire che fissato $epsilon$, ci possiamo spostare di pochino a destra o a sinistra, in alto o in basso, in modo da far variare la funzione meno di $epsilon$. Se invece la funzione è continua nelle due variabili congiuntamente, ci possiamo spostare lungo una qualsiasi direzione, e a patto di non allontanarci troppo la funzione varierà meno di $epsilon$.
$f(x, y)=(f_x circ P_2)(x,y)$.
Tu scrivi così ma questo non significa che $f$ sia la composizione delle due funzioni a destra: questo perché $f_x$ dipende da $x$. Come regola nasometrica, quando usi il simbolo $circ$ non metterci le variabili:
$f circ g$ NON $f circ g (x)$.
Se ci metti le variabili usa le parentesi:
$f(g(x))$.
Nel nostro caso usando le parentesi abbiamo
$f(x, y)=f_x(P_2(x, y))$
e non possiamo passare ad una scrittura con il pallino, perché a sinistra non abbiamo una sola funzione ma una famiglia di funzioni dipendenti dal parametro $x$, che a sua volta è una variabile. E' una composizione più complicata della semplice $f circ g$, in cui la funzione più a sinistra è fissata.
Spero di essermi spiegato bene, ne dubito, purtroppo sono molto stanco.
Comunque sul Munkres si parla dell'argomento, nel paragrafo di cui quell'esercizio forma la conclusione. Questo fatto della continuità nelle variabili separatamente si vede bene in un piano. Se una funzione definita sul piano e a valori reali è continua nelle due variabili separatamente in un punto $(x, y)$, vuol dire che fissato $epsilon$, ci possiamo spostare di pochino a destra o a sinistra, in alto o in basso, in modo da far variare la funzione meno di $epsilon$. Se invece la funzione è continua nelle due variabili congiuntamente, ci possiamo spostare lungo una qualsiasi direzione, e a patto di non allontanarci troppo la funzione varierà meno di $epsilon$.
Grazie dissonance, credo di iniziare a capire (francamente devo pensarci ancora un po' non mi viene così naturale!).
Ho trovato il capitolo nel libro (scusami ieri son stato frettoloso, ma ero un po' stanco!) e lo dice chiaramente. Supposte $f_1,f_2$ continue non si può risalire alla continuità della $f$.
Sono avanti nello studio di questa parte e credo di aver aggiunto il tassello che mi mancava.
C'è la seguente proposizione:
Sia [tex]$f : S \to S_1 \times S_2 t.c. x \to f(x)=(f_1(x),f_2(x))[/tex] con [tex]$f_1=p_1 \circ f,f_2=p_2 \circ f[/tex].
Allora sia ha che $f$ è continua se e solo se $f_1,f_2$ sono continue.
Io credo che inconsciamente io pensassi a questa proposizione piuttosto che a quella che avevo davanti (che invece è definita sul prodotto di spazi topologici!)
Ho trovato il capitolo nel libro (scusami ieri son stato frettoloso, ma ero un po' stanco!) e lo dice chiaramente. Supposte $f_1,f_2$ continue non si può risalire alla continuità della $f$.
Sono avanti nello studio di questa parte e credo di aver aggiunto il tassello che mi mancava.
C'è la seguente proposizione:
Sia [tex]$f : S \to S_1 \times S_2 t.c. x \to f(x)=(f_1(x),f_2(x))[/tex] con [tex]$f_1=p_1 \circ f,f_2=p_2 \circ f[/tex].
Allora sia ha che $f$ è continua se e solo se $f_1,f_2$ sono continue.
Io credo che inconsciamente io pensassi a questa proposizione piuttosto che a quella che avevo davanti (che invece è definita sul prodotto di spazi topologici!)
E' una cosa che fa confondere, all'inizio. Quando hai una funzione a valori in un prodotto topologico, oppure quando hai una funzione definita su un quoziente topologico, ti scattano risultati di continuità che si chiamano proprietà universali della topologia prodotto e quoziente rispettivamente. Il motivo di questa terminologia va ricercato nella teoria delle categorie di cui io, purtroppo, sono completamente digiuno.
Figurati io allora 
Comunque inizio a comprendere anche se mi manca una visione d'insieme (che sicuramente aiuta).
Grazie ancora
Comunque inizio a comprendere anche se mi manca una visione d'insieme (che sicuramente aiuta).
Grazie ancora
Le proprietà universali non sono concetti avanzati di teoria delle categorie, per quanto ricordo 
; quindi se ne siete interessati potreste andarle a leggere. 
; quindi se ne siete interessati potreste andarle a leggere.
Leggendo l'altro giorno questa discussione, mi sono ricordato di un problema che avevo letto da qualche parte e mi ero appuntato, in attesa di ricevere gli strumenti adatti per risolverlo.
Ebbene, anche ora che dovrei avere le conoscenze richieste, non ce la faccio
Sia [tex]g: \, \mathbb{R} \to [0,1][/tex] un'applicazione continua, con [tex]g(1)=1[/tex] e [tex]g(t)=0[/tex] se [tex]|t-1|\ge \frac{1}{2}[/tex].
Si consideri [tex]f: \,\mathbb{R}^2 \to [0,1][/tex], dove [tex]f(x,0)=0[/tex] e [tex]f(x,y)=g(xy^{-1})[/tex].
Si provi che [tex]f[/tex] non è continua, ma che per ogni [tex]x,y[/tex] le restrizioni [tex]t \mapsto f(x,t)[/tex] e [tex]t \mapsto f(t,y)[/tex] sono continue.
Mi è parso opportuno non aprire un'altra discussione, essendo l'argomento analogo.
Il problema è che non ho capito bene che cosa devo fare. C'è da dire che non sono molto pratico con le funzioni di più variabili, però prima o poi bisogna pur incominciare.
A livello topologico, per provare che [tex]f[/tex] non è continua, mi basterebbe trovare un chiuso di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che va (mediante [tex]f[/tex]) in un aperto di [tex][0,1][/tex] (il testo non lo precisa: c'è la topologia di sottospazio su [tex][0,1][/tex], vero?). E non so come fare.
Inoltre, come devo comportarmi con le restrizioni? Di sicuro dovrò usare pesantamente l'ipotesi di continuità di [tex]g[/tex], ma come posso formalizzare un po' di più il discorso?
Grazie in anticipo.
Ebbene, anche ora che dovrei avere le conoscenze richieste, non ce la faccio
Sia [tex]g: \, \mathbb{R} \to [0,1][/tex] un'applicazione continua, con [tex]g(1)=1[/tex] e [tex]g(t)=0[/tex] se [tex]|t-1|\ge \frac{1}{2}[/tex].
Si consideri [tex]f: \,\mathbb{R}^2 \to [0,1][/tex], dove [tex]f(x,0)=0[/tex] e [tex]f(x,y)=g(xy^{-1})[/tex].
Si provi che [tex]f[/tex] non è continua, ma che per ogni [tex]x,y[/tex] le restrizioni [tex]t \mapsto f(x,t)[/tex] e [tex]t \mapsto f(t,y)[/tex] sono continue.
Mi è parso opportuno non aprire un'altra discussione, essendo l'argomento analogo.
Il problema è che non ho capito bene che cosa devo fare. C'è da dire che non sono molto pratico con le funzioni di più variabili, però prima o poi bisogna pur incominciare.
A livello topologico, per provare che [tex]f[/tex] non è continua, mi basterebbe trovare un chiuso di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] che va (mediante [tex]f[/tex]) in un aperto di [tex][0,1][/tex] (il testo non lo precisa: c'è la topologia di sottospazio su [tex][0,1][/tex], vero?). E non so come fare.
Inoltre, come devo comportarmi con le restrizioni? Di sicuro dovrò usare pesantamente l'ipotesi di continuità di [tex]g[/tex], ma come posso formalizzare un po' di più il discorso?
Grazie in anticipo.
"Paolo90"::lol:
Ebbene, anche ora che dovrei avere le conoscenze richieste, non ce la faccio
Succede spesso anche a me. Tipicamente alla fine mi accorgo che le conoscenze necessarie le avevo anche all'inizio.
Comunque, la continuità nelle due variabili separatamente mi sembra (a naso) noiosa ma non difficile da dimostrare, usando sempre il solito strumento: la composizione di funzioni continue è una funzione continua. Per l'altro punto invece direi che l'osservazione chiave è di tipo geometrico, ricorrere a concetti topologici astratti come stai facendo tu ti potrebbe offuscare la vista:
Se una funzione definita sul piano e a valori reali è continua nelle due variabili separatamente in un punto (x,y), vuol dire che fissato ε, ci possiamo spostare di pochino a destra o a sinistra, in alto o in basso, in modo da far variare la funzione meno di ε. Se invece la funzione è continua nelle due variabili congiuntamente, ci possiamo spostare lungo una qualsiasi direzione, e a patto di non allontanarci troppo la funzione varierà meno di ε.
Detto meno cripticamente, prova a valutare la $f$ lungo due rette del piano, magari aventi equazioni molto semplici, che so... $y=x, y=2x$.
Anzitutto grazie per la risposta, dissonance.
Cominciamo dal primo punto:
Seguendo il tuo consiglio, ho valutato $f$ lungo $y=x$ e trovo (ricordando che $g(1)=1$)
$f={(0 " se " x = 0),(1 " se " x !=0):}$
che è discontinua.
Ma basta questo per provare che $f$ non è continua? Cioè se io provo che la funzione non è continua "lungo una direzione", allora non può essere continua nel senso propriamente detto. E' corretto quanto dico? Scusa il mio linguaggio rozzo, forse queste sono cose che uno impara bene in un corso di Analisi II ma non ci siamo ancora arrivati
Quanto al secondo punto, invece, non penso di aver capito bene, scusami.
Ho pensato di chiamare [tex]\varphi_{t}:\, \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}[/tex] che associa [tex](x,y) \mapsto (t,y)[/tex] (con [tex]t \in \mathbb{R}[/tex] fissato); in questo modo, posso scrivere che la restrizione [tex]t \mapsto f(t,y)[/tex] risulta essere uguale a [tex]f \circ \varphi_{t}[/tex]. Ma abbiamo appena visto che $f$ non è continua, quindi non posso dire nulla circa la loro composizione. Lo so, sarebbe stato più saggio tirare in ballo $g$, su cui abbiamo l'ipotesi di continuità, ma non arrivo a vedere come...
Grazie per l'aiuto.
Cominciamo dal primo punto:
"dissonance":
[...] direi che l'osservazione chiave è di tipo geometrico, ricorrere a concetti topologici astratti come stai facendo tu ti potrebbe offuscare la vista:
Se una funzione definita sul piano e a valori reali è continua nelle due variabili separatamente in un punto (x,y), vuol dire che fissato ε, ci possiamo spostare di pochino a destra o a sinistra, in alto o in basso, in modo da far variare la funzione meno di ε. Se invece la funzione è continua nelle due variabili congiuntamente, ci possiamo spostare lungo una qualsiasi direzione, e a patto di non allontanarci troppo la funzione varierà meno di ε.
Detto meno cripticamente, prova a valutare la $f$ lungo due rette del piano, magari aventi equazioni molto semplici, che so... $y=x, y=2x$.
Seguendo il tuo consiglio, ho valutato $f$ lungo $y=x$ e trovo (ricordando che $g(1)=1$)
$f={(0 " se " x = 0),(1 " se " x !=0):}$
che è discontinua.
Ma basta questo per provare che $f$ non è continua? Cioè se io provo che la funzione non è continua "lungo una direzione", allora non può essere continua nel senso propriamente detto. E' corretto quanto dico? Scusa il mio linguaggio rozzo, forse queste sono cose che uno impara bene in un corso di Analisi II ma non ci siamo ancora arrivati
Quanto al secondo punto, invece, non penso di aver capito bene, scusami.
Ho pensato di chiamare [tex]\varphi_{t}:\, \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}[/tex] che associa [tex](x,y) \mapsto (t,y)[/tex] (con [tex]t \in \mathbb{R}[/tex] fissato); in questo modo, posso scrivere che la restrizione [tex]t \mapsto f(t,y)[/tex] risulta essere uguale a [tex]f \circ \varphi_{t}[/tex]. Ma abbiamo appena visto che $f$ non è continua, quindi non posso dire nulla circa la loro composizione. Lo so, sarebbe stato più saggio tirare in ballo $g$, su cui abbiamo l'ipotesi di continuità, ma non arrivo a vedere come...
Grazie per l'aiuto.
Ti stai confondendo perché stai pensando in termini troppo sofisticati. Vuoi mostrare che quella applicazione è continua nelle due variabili separatamente: se fissi $y$ e fai variare $x$, non c'è nulla da dimostrare; se fissi $x$ e fai variare $y$, scrivendo $h(y)={(xy^{-1}, y!=0), (0, y=0):}$, hai che
$f(x, \cdot)=g circ h$
e per ogni $y!=0$, le due funzioni a destra sono continue in $y$; per $y=0$ $h$ non è continua (a meno che $x=0$) ma $g circ h$ si perché identicamente nulla in tutto un intorno di $y=0$. Quindi $f(x, cdot)$ è continua per ogni $y$ e quindi è continua.
Per quanto riguarda l'altra domanda, sì il senso è quello. Tecnicamente puoi scrivere: se $f$ fosse continua, tale dovrebbe essere pure $f circ gamma$ per ogni $gamma$ funzione continua, ma presa $gamma(x)=(x, x)$, questo non è verificato.
$f(x, \cdot)=g circ h$
e per ogni $y!=0$, le due funzioni a destra sono continue in $y$; per $y=0$ $h$ non è continua (a meno che $x=0$) ma $g circ h$ si perché identicamente nulla in tutto un intorno di $y=0$. Quindi $f(x, cdot)$ è continua per ogni $y$ e quindi è continua.
Per quanto riguarda l'altra domanda, sì il senso è quello. Tecnicamente puoi scrivere: se $f$ fosse continua, tale dovrebbe essere pure $f circ gamma$ per ogni $gamma$ funzione continua, ma presa $gamma(x)=(x, x)$, questo non è verificato.
Grazie, ora ho capito. Effettivamente la facevo più grande di quello che era, si vede che sono un po' rintronato.
Scusatemi
Scusatemi
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