Topologia(3)
Due esercizi che non riesco a fare:
1) Su $R$ definiamo la relazione di equivalenza $xrhoy$ sse $x-yinZ$. Mostrare che il quoziente $R/rho$ con la topologia quoziente è omeomorfo alla circonferenza $S^1$.
2) Sia $f$:$X->Y$ continua e surjettiva fra due spazi topologici di cui $Y$ è T2. Si supponga che esista una successione $K_n$ di compatti di $X$ tali che la famiglia delle parti interne ${f(K_n)^°}_{ninN}$ ricopra $Y$. Mostrare che f è una identificazione.
Nota all'esercizio 2)
ricordo due risultati che dovrebbero essere utili:
a) $f$:$X->Y$ è una identificazione sse f è continua, surjettiva e ogni qualvolta $f^{-1}(A)$ è aperto in X, allora A è aperto in Y.
b) Una funzione continua e surjettiva da uno spazio compatto ad un T2 è una identificazione
1) Su $R$ definiamo la relazione di equivalenza $xrhoy$ sse $x-yinZ$. Mostrare che il quoziente $R/rho$ con la topologia quoziente è omeomorfo alla circonferenza $S^1$.
2) Sia $f$:$X->Y$ continua e surjettiva fra due spazi topologici di cui $Y$ è T2. Si supponga che esista una successione $K_n$ di compatti di $X$ tali che la famiglia delle parti interne ${f(K_n)^°}_{ninN}$ ricopra $Y$. Mostrare che f è una identificazione.
Nota all'esercizio 2)
ricordo due risultati che dovrebbero essere utili:
a) $f$:$X->Y$ è una identificazione sse f è continua, surjettiva e ogni qualvolta $f^{-1}(A)$ è aperto in X, allora A è aperto in Y.
b) Una funzione continua e surjettiva da uno spazio compatto ad un T2 è una identificazione
Risposte
1) L'omeomorfismo dovrebbe essere $f: \overline{x} \mapsto e^{2 i \pi x}$. Controlla...
credo che vada bene
Provo nonostante l'ora tarda il numero 2 (in realtà è da un pò che ci penso 
...ps: la parte (1) sarebbe la definizione di identificazione? No perchè non la conosco ed ho considerato la (1) come definizione). Mettendo assieme questo forse si giunge a qualcosa:
- $f^(-1)A$ è aperto in $X$ $=>$ $f^(-1)(A\capf(K_i)°)\capK_j$ è aperto per ogni $i$ in $K_j$ con la topologia di sottospazio;
- $A=$ unione su $i$ di $A\capf(K_i)°$;
- usando i primi due punti si considerano le restrizioni $f|K_s: K_s->f(K_s)°$. Queste per quanto scrivi tu sono delle identificazioni (sottospazi di $T_2$ sono ancora $T_2$). Usando questo ed i punti sopra si vede che $A\capf(K_i)°$ è aperto nella topologia di sottospazio su K_i. Ma gli aperti di questa topologia sono anche aperti di $Y$, il che porta a concludere;
dove stà la cazzata uber???
...ps: la parte (1) sarebbe la definizione di identificazione? No perchè non la conosco ed ho considerato la (1) come definizione). Mettendo assieme questo forse si giunge a qualcosa:- $f^(-1)A$ è aperto in $X$ $=>$ $f^(-1)(A\capf(K_i)°)\capK_j$ è aperto per ogni $i$ in $K_j$ con la topologia di sottospazio;
- $A=$ unione su $i$ di $A\capf(K_i)°$;
- usando i primi due punti si considerano le restrizioni $f|K_s: K_s->f(K_s)°$. Queste per quanto scrivi tu sono delle identificazioni (sottospazi di $T_2$ sono ancora $T_2$). Usando questo ed i punti sopra si vede che $A\capf(K_i)°$ è aperto nella topologia di sottospazio su K_i. Ma gli aperti di questa topologia sono anche aperti di $Y$, il che porta a concludere;
dove stà la cazzata uber???
"Thomas":
Usando questo ed i punti sopra si vede che $A\capf(K_i)°$ è aperto nella topologia di sottospazio su K_i. Ma gli aperti di questa topologia sono anche aperti di $Y$, il che porta a concludere;
questa parte mi è un pò oscura...
La via che voglio percorrere è questa... non so se è corretta... provo a spiegarla meglio... inserisco nel seguito tra **...** dei commenti su cose che non ho ben controllato perchè mi paiono vere...
- Grazie al mio secondo punto ho $A$ come unione di insiemi, che ora chiamo $I_i$ sarebbe ($I_i=A\capf(K_i)°$, per come li ho indicati nel post precedente). Se questi insiemi sono tutti aperti nell'immagine, ho finito, visto che $A$ sarebbe unione di aperti. Cercherò di dimostrare questo utilizzando le ipotesi;
- ho descritto quelle restrizioni delle $f$ modificando dominio e codominio della $f$ **(in realtà visto che ho modificato anche il codominio non sarebbero vere restrizioni, cmq pare che il tutto sia ben definito);** quelle restrizioni vanno da compatti in T2, sono surgettive, continue e quindi sono identificazioni **(questo punto in realtà non l'ho ben controllato)**; utilizzando questa funzioni vorrei dire che gli $I_i$ sono aperti. Infatti ogni $I_i$ vive nell'immagine di una restrizione ed in questa restrizione $f^(-1)(I_i)$ è aperto, grazie al mio punto 1; segue che $I_i$ è aperto nel codominio della restrizione; ma i codomini di queste restrizioni sono aperti di $Y$, e quindi i loro aperti sono dati da aperti di $Y$ intersecati un aperto di $Y$, ovvero sono anche aperti di $Y$; questo vorrebbe indicare che gli $I_i$ sono aperti in $Y$, da cui $A$ è aperto in $Y$;
che ne dici? su quale punto mi sono confuso...???!
- Grazie al mio secondo punto ho $A$ come unione di insiemi, che ora chiamo $I_i$ sarebbe ($I_i=A\capf(K_i)°$, per come li ho indicati nel post precedente). Se questi insiemi sono tutti aperti nell'immagine, ho finito, visto che $A$ sarebbe unione di aperti. Cercherò di dimostrare questo utilizzando le ipotesi;
- ho descritto quelle restrizioni delle $f$ modificando dominio e codominio della $f$ **(in realtà visto che ho modificato anche il codominio non sarebbero vere restrizioni, cmq pare che il tutto sia ben definito);** quelle restrizioni vanno da compatti in T2, sono surgettive, continue e quindi sono identificazioni **(questo punto in realtà non l'ho ben controllato)**; utilizzando questa funzioni vorrei dire che gli $I_i$ sono aperti. Infatti ogni $I_i$ vive nell'immagine di una restrizione ed in questa restrizione $f^(-1)(I_i)$ è aperto, grazie al mio punto 1; segue che $I_i$ è aperto nel codominio della restrizione; ma i codomini di queste restrizioni sono aperti di $Y$, e quindi i loro aperti sono dati da aperti di $Y$ intersecati un aperto di $Y$, ovvero sono anche aperti di $Y$; questo vorrebbe indicare che gli $I_i$ sono aperti in $Y$, da cui $A$ è aperto in $Y$;
che ne dici? su quale punto mi sono confuso...???!
ah... a me puzza molto quanto ho scritto sopra... vorrei avere conferme e/o smentite...
byez
ps: senza pretendere che tu la legga subito, uber... eh!
byez
ps: senza pretendere che tu la legga subito, uber... eh!
a me pare corretta...
Ottimo!... allora, ora che ho almeno una conferma, quando ho tempo (potrebbe passare un pò 
) provo a formalizzarla ed a scriverla per bene... così mi convinco anche io che è corretta 
) provo a formalizzarla ed a scriverla per bene... così mi convinco anche io che è corretta
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