Topologia: Una retta è un chiuso dello spazio?

[Rulla1]

Ciao a tutti, scusate la banalità... Consideriamo una retta nello spazio a tre dimensioni con la topologia euclidea. La retta è un chiuso? Mi pare evidente che non sia un aperto, ma quale argomentazione posso seguire per dire se è o meno un chiuso? (se consideriamo la retta su di un piano il ragionamento sarebbe lo stesso, vero?)

Ho sempre avuto difficoltà a capire cosa fossero aperti e cosa chiusi, ad esempio stavo cercando di risolvere questo esercizio:
sia [tex]E:= \{(t,a,b,c) \in \mathbb{R}^4 | at^2+bt+c=0\}[/tex] Stabilire se E è chiuso e se è compatto.

Dato che E contiene la retta [tex]\alpha(t)=(t,0,0,0)[/tex] direi che non è compatto (è sufficiente come argomentazione?)
Però non ho nessuna idea per dire se è o no chiuso...
Qualcuno ha qualche idea?
Grazie in anticipo!!

[j18eos]

Cia0 Rulla, è molto più facile capire se un dato insieme è aperto cioè studia [tex]$\mathbb{R}^4-\{E\}$[/tex]!

Poi [tex]$E$[/tex] non è compatto in [tex]$(\mathbb{R}^4;\mathcal{A}_{\mathrm{nat}})$[/tex] in quanto insieme illimitato (teorema di Borel-Heine-Lebesgue-Pincherle), infatti, contiene almeno un retta!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Osserva che se [tex]f:X \to Y[/tex] è un'applicazione continua tra due spazi topologici e [tex]S[/tex] è un chiuso di [tex]Y[/tex] allora [tex]f^{-1}(S) = \{x \in X\ |\ f(x) \in S\}[/tex] è un chiuso di [tex]X[/tex] (per definizione, se vuoi).

Ora, in particolare puoi prendere [tex]X=\mathbb{R}^n[/tex], [tex]Y=\mathbb{R}[/tex] e [tex]S = \{0\}[/tex] (osserva che [tex]S[/tex] è effettivamente un chiuso di [tex]\mathbb{R}[/tex], essendo quest'ultimo uno spazio di Hausdorff).

Ottieni che l'insieme [tex]\{x \in \mathbb{R}^n\ |\ f(x)=0\}[/tex] è chiuso in [tex]\mathbb{R}^n[/tex].

Un iperpiano corrisponde al caso in cui [tex]f(x)[/tex] è un polinomio di grado 1 (e ogni retta è intersezione di iperpiani), l'altro esempio che hai riportato corrisponde al caso in cui [tex]f(x)[/tex] è un polinomio di grado [tex]2[/tex] (osserva che le funzioni polinomiali sono continue).

[Rulla1]

Grazie!! Quindi sia la retta che l'insieme E sono chiusi, giusto?

[Rulla1]

Hem, scusa l'ignoranza, però se [tex]f(x)[/tex] è un polinomio di grado 1, non abbiamo una retta ma un iperpiano. quindi il ragionamento non va bene per le dimensioni da 3 in poi... Però la retta ( in 3 dim) è intersezione di due piani (chiusi) e quindi è un chiuso.

Nel caso di E sia ha che [tex]f((t,a,b,c))=at^2+bt+c[/tex], vero? La funzione è continua e quindi ecc ecc

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì hai ragione scusa, i polinomi di grado 1 corrispondono ad iperpiani (ora correggo). Ma osserva che ogni sottospazio affine è un'intersezione di iperpiani, e un'intersezione di chiusi è un chiuso, come hai osservato.

[miry93-thebest]

"Rulla":Però la retta ( in 3 dim) è intersezione di due piani (chiusi) e quindi è un chiuso.

e nel caso del piano come si dimostra che la retta è chiusa???

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"miry77":[quote="Rulla"]Però la retta ( in 3 dim) è intersezione di due piani (chiusi) e quindi è un chiuso.

e nel caso del piano come si dimostra che la retta è chiusa???[/quote]Una retta è data da un'equazione [tex]f(x,y)=0[/tex] dove [tex]f(x,y)[/tex] è un polinomio di primo grado. Vista [tex]f[/tex] come funzione [tex]\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/tex], la retta data risulta essere la controimmagine di [tex]0[/tex]. Siccome [tex]\{0\}[/tex] è un chiuso di [tex]\mathbb{R}[/tex] e [tex]f[/tex] è continua (essendo una funzione polinomiale), la retta [tex]\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\ :\ f(x,y)=0\} = f^{-1}(\{0\})[/tex] è un chiuso di [tex]\mathbb{R}^2[/tex] (per definizione di continuità).