Topologia-una conica proiettiva è chiusa?
Come da titolo... una conica proiettiva è chiusa?
Sia nel caso reale che complesso (ovvero $P^2(CC)$ e $P^2(RR)$ ) usando la topologia indotta da quella euclidea??
L'idea era di vedere le coniche come la controimmagine di un chiuso, ma l'equazione della conica non passa a quoziente e non so se il polinomio omogeneo è una funzione continua, e non posso usare la proprietà universale del quoziente perchè non vi si può passare (il polinomio omogeneo non è compatibile con quello non omogeneo)... posso vedere la conica come un chiuso di Zariski, ma non so se questa è meno fine dell'Euclidea pure nel proiettivo...
Qualcuno ha qualche idea?
Sia nel caso reale che complesso (ovvero $P^2(CC)$ e $P^2(RR)$ ) usando la topologia indotta da quella euclidea??
L'idea era di vedere le coniche come la controimmagine di un chiuso, ma l'equazione della conica non passa a quoziente e non so se il polinomio omogeneo è una funzione continua, e non posso usare la proprietà universale del quoziente perchè non vi si può passare (il polinomio omogeneo non è compatibile con quello non omogeneo)... posso vedere la conica come un chiuso di Zariski, ma non so se questa è meno fine dell'Euclidea pure nel proiettivo...
Qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Siano \(\mathbb{P}^2\) il piano proiettivo reale\complesso, \(\widetilde{\mathcal{T}}\) la topologia quoziente di quella euclidea di \(\mathbb{A}^3\setminus\{(0;0;0)\}\), \(\pi:\mathbb{A}^3\setminus\{(0;0;0)\}\to\mathbb{P}^2\) la proiezione canonica e \(\Gamma\) una conica in \(\mathbb{P}^2\): chi è \(\pi^{-1}(\Gamma)\)? È un insieme chiuso in \(\mathbb{A}^3\setminus\{(0;0;0)\}\)? Se sì, hai concluso!
A senso mi verrebbe da dire che la controimmagine di una conica proiettiva è la sua corrispondente affine, ovvero passo dal polinomio omogeneo a quello deomogeneizzato (non ne trovo una sola, mi sembra che dipenda dalla segnatura della matrice associata... se non ricordo male ho al massimo 2 possibili casi (2,1,0) e (1,2,0) )... quindi ho l'unione di due chiusi che è chiusa nell'euclidea... ho detto bene?? Quanto va formalizzato?
No, hai completamente sbagliato. 
Chi è \(\pi^{-1}(P)\) con \(P\in\mathbb{P}^2\)?
Chi è \(\pi^{-1}(P)\) con \(P\in\mathbb{P}^2\)?
la controimmagine di un punto è una retta... quindi?
L'unica cosa a cui ho pensato è che se prendo la conica proiettiva reale $x_0^2 +x_1^2 = 0$ ho il solo punto $[0,0,1]$... e la sua preimmagine è una retta in $RR^3$... che è chiusa e quindi quella conica è chiusa... ed una conica proiettiva chiusa l'ho trovata
Ma in generale? Ad esempio, come la vedo la conica proiettiva $x_0^2 +x_1^2 - x_2^2= 0$ nell'affine? èun 'unione infinita di rette... nella mia testa mi visualizzo una specie di piano ripiegato...
Tra l'altro, nell'altra mia risposta mi sono accorto di non aver considerato le coniche degeneri, ovvero quelle con matrice di rango inferiore a 3...
L'unica cosa a cui ho pensato è che se prendo la conica proiettiva reale $x_0^2 +x_1^2 = 0$ ho il solo punto $[0,0,1]$... e la sua preimmagine è una retta in $RR^3$... che è chiusa e quindi quella conica è chiusa... ed una conica proiettiva chiusa l'ho trovata
Ma in generale? Ad esempio, come la vedo la conica proiettiva $x_0^2 +x_1^2 - x_2^2= 0$ nell'affine? èun 'unione infinita di rette... nella mia testa mi visualizzo una specie di piano ripiegato...
Tra l'altro, nell'altra mia risposta mi sono accorto di non aver considerato le coniche degeneri, ovvero quelle con matrice di rango inferiore a 3...
mmmh... 
A questo punto l'anti-immagine di due punti cos'è? Non noti nulla di particolare?
Prova a calcolarti l'anti-immagine di una circonferenza!
A questo punto l'anti-immagine di due punti cos'è? Non noti nulla di particolare?
Prova a calcolarti l'anti-immagine di una circonferenza!
Rettifico quanto detto sull'anti-immagine di un punto di $P^2$... ad essere precisi sono due semirette di $RR^3$\${0}$, visto che la proiezione agisce sullo spazio reale meno l'origine. Però rimane un chiuso euclideo.
Scusa se ti rispondo alla tua domanda con un'altra domanda (sopratutto scusami per la banalità ), ma non riesco a capire: quando mi chiedi della circonferenza proiettiva ti riferisci a $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$? E se mi chiedessi di immergere un $S^1$ dentro il proiettivo, posso prendere l'equazione appena scritta? Mi sono fatto questa domanda quando ho assistito ad un'orale di Geometria 2 e il professore ha chiesto: "Prenda un $S^1$ nel proiettivo... è chiuso?Se potessi rifarmi all'equazione canonica, allora avrei vinto (sempre ammesso che le coniche proiettive siano chiuse, ma mi puzza di vero)
Adesso rispondo alle domande:
1) l'anti-immagine di due punti sono due rette di $RR^3$ che si incontrano nell'origine, e poi tolgo quest'ultima... praticamente sono 4 semirette. E' un chiuso... ma non riesco a vedere nulla di notevole, se non che si "incontrano" nell'origine;
2) andando un pò a braccio, mi sono convinto che l'anti-immagine di $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$ sia un doppio cono reale che ha il vertice nell'origine, e quest'ultima esclusa... e quindi è un chiuso...
Scusa se ti rispondo alla tua domanda con un'altra domanda (sopratutto scusami per la banalità
), ma non riesco a capire: quando mi chiedi della circonferenza proiettiva ti riferisci a $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$? E se mi chiedessi di immergere un $S^1$ dentro il proiettivo, posso prendere l'equazione appena scritta? Mi sono fatto questa domanda quando ho assistito ad un'orale di Geometria 2 e il professore ha chiesto: "Prenda un $S^1$ nel proiettivo... è chiuso?Se potessi rifarmi all'equazione canonica, allora avrei vinto (sempre ammesso che le coniche proiettive siano chiuse, ma mi puzza di vero)Adesso rispondo alle domande:
1) l'anti-immagine di due punti sono due rette di $RR^3$ che si incontrano nell'origine, e poi tolgo quest'ultima... praticamente sono 4 semirette. E' un chiuso... ma non riesco a vedere nulla di notevole, se non che si "incontrano" nell'origine;
2) andando un pò a braccio, mi sono convinto che l'anti-immagine di $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$ sia un doppio cono reale che ha il vertice nell'origine, e quest'ultima esclusa... e quindi è un chiuso...
Ecco, ora ci siamo!
Per essere esatti, la risposta 2 è il cono a base circolare meno il vertice \((0;0;0)\); ora riesci a concludere con gli altri casi?
Poi non capisco la domanda dell'immergere una circonferenza piana nel piano proiettivo...
Per essere esatti, la risposta 2 è il cono a base circolare meno il vertice \((0;0;0)\); ora riesci a concludere con gli altri casi?
Poi non capisco la domanda dell'immergere una circonferenza piana nel piano proiettivo...
Sono stato assalito da un altro dubbio, che spero di aver risolto, ho bisogno di una conferma: per dire che $x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 = 0$ sia chiuso in $PP^2$ uso il fatto che la sua anti-immagine in $RR^3$ è un cono senza il vertice, cioè un chiuso. Questo va bene perchè la proiezione è un'applicazione chiusa in questo caso, giusto? Lo è perchè vedo il proiettivo come l'azione di $Z$/$2Z$ su $RR^3$/${0}$, ed essendo $Z$/$2Z$ finito, la proiezione è chiusa... giusto??
Comunque provo a risolvere le coniche caso per caso... e più o meno riesco a vedere le anti-immagini reali... ma non esiste una soluzione generale senza andare caso per caso ad analizzare l'equazione canonica? E nel caso complesso?
Purtroppo la domanda che ho sentito all'orale era formulata in quel modo... "Un $S^1$ nel proiettivo è chiuso?"... cosa avrei dovuto rispondere??
Comunque provo a risolvere le coniche caso per caso... e più o meno riesco a vedere le anti-immagini reali... ma non esiste una soluzione generale senza andare caso per caso ad analizzare l'equazione canonica? E nel caso complesso?
Purtroppo la domanda che ho sentito all'orale era formulata in quel modo... "Un $S^1$ nel proiettivo è chiuso?"... cosa avrei dovuto rispondere??
Non ricordo se \(\pi\) è chiusa... se lo fosse la risposta sarebbe banalmente sì!
Per quanto riguarda le coniche proiettive (nel reale o nel complesso), basta notare che l'anti-immagine è un cono di base la conica data meno il vertice \((0;0;0)\) che è un chiuso in \(\mathbb{A}^3\setminus\{(0;0;0)\}\).
Per quanto riguarda l'ultima domanda: devi verificare se \(\pi^{-1}(\pi(\mathbb{S}^1))\) è chiuso.
P.S.: Ma ti ricordi come si definisce la topologia quoziente?
Per quanto riguarda le coniche proiettive (nel reale o nel complesso), basta notare che l'anti-immagine è un cono di base la conica data meno il vertice \((0;0;0)\) che è un chiuso in \(\mathbb{A}^3\setminus\{(0;0;0)\}\).
Per quanto riguarda l'ultima domanda: devi verificare se \(\pi^{-1}(\pi(\mathbb{S}^1))\) è chiuso.
P.S.: Ma ti ricordi come si definisce la topologia quoziente?
Si ho preso un abbaglio! Un insieme $A$ nella topologia quoziente è aperto (equivalentemente chiuso) se e solo $pi^(-1)(A)$ è un chuso nell'insieme di partenza... quindi ok, bastava vedere che la pre-immagine fosse un chiuso!! Grazie!!
Mentre sulla domanda dell'$S^1$, come l'hai posta te, mi viene fuori un piano reale senza l'origine e quindi un chiuso.
Grazie
Mentre sulla domanda dell'$S^1$, come l'hai posta te, mi viene fuori un piano reale senza l'origine e quindi un chiuso.
Grazie
Prego, di nulla. ; )
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