Topologia $TOP(X)$ : estremo superiore
Ciao a tutti. 
Scrivo per avere conferma di un ragionamento.
Si parla di uno spazio $X$ e l'insieme di tutte le topologie ivi definibili, appunto $TOP(X)$.
C'è la seguente proposizione:
se ${\theta_s :s\inS}\subeTOP(X)$, allora l'estremo superiore di tale insieme è la topologia $\bar\theta$ avente come base la famiglia $B=A_(s_1)\nnn...\nnnA_(s_n)$
con $A_(s_i)\in\theta_(s_i)$ per tutti i possibili insiemi finti di indici.
Ovviamente estremo superiore rispetto all'usuale relazione d'ordine tre topologie (più fine, meno fine).
Quindi innanzitutto da mostrare: se un aperto appartiene ad una qualsiasi topologia di $TOP(X)$, allora è anche in $\bar\theta$, ovvero $\theta_s\in\bar\theta$.
Per far questo, ho proceduto così:
Sia $A_s\in\theta_s$ con $s$ a scelta.
Allora io prendo un particolare membro dela famiglia $B$ quello di questo tipo:
$A_s\nnnX\nnnX...\nnnX$ ovvero prendo solo quell'aperto e tutti gli altri sono $X$ (aperto), sicché il risultato è che $A_s$ è nella base di $\bar\theta$.
Ora non basta ciò per dire che è aperto in $\bar\theta$, però con questo metodo posso buttarci dentro anche tutti gli altri aperti delle topologie meno fini, in modo che mi assicuro la presenza delle intersezioni e delle unioni dei vari aperti (che nelle vecchie topologie ci sono), per evitare contraddizioni.
Però non mi convince, perché non sono sicuro così che ci siano le intersezioni di aperti appartenenti a topologie all'inizio diverse.
Spero di essermi spiegato sufficientemente, altrimenti provvedo.
Grazie a chi vorrà intervenire in merito,
buona serata!
Scrivo per avere conferma di un ragionamento.
Si parla di uno spazio $X$ e l'insieme di tutte le topologie ivi definibili, appunto $TOP(X)$.
C'è la seguente proposizione:
se ${\theta_s :s\inS}\subeTOP(X)$, allora l'estremo superiore di tale insieme è la topologia $\bar\theta$ avente come base la famiglia $B=A_(s_1)\nnn...\nnnA_(s_n)$
con $A_(s_i)\in\theta_(s_i)$ per tutti i possibili insiemi finti di indici.
Ovviamente estremo superiore rispetto all'usuale relazione d'ordine tre topologie (più fine, meno fine).
Quindi innanzitutto da mostrare: se un aperto appartiene ad una qualsiasi topologia di $TOP(X)$, allora è anche in $\bar\theta$, ovvero $\theta_s\in\bar\theta$.
Per far questo, ho proceduto così:
Sia $A_s\in\theta_s$ con $s$ a scelta.
Allora io prendo un particolare membro dela famiglia $B$ quello di questo tipo:
$A_s\nnnX\nnnX...\nnnX$ ovvero prendo solo quell'aperto e tutti gli altri sono $X$ (aperto), sicché il risultato è che $A_s$ è nella base di $\bar\theta$.
Ora non basta ciò per dire che è aperto in $\bar\theta$, però con questo metodo posso buttarci dentro anche tutti gli altri aperti delle topologie meno fini, in modo che mi assicuro la presenza delle intersezioni e delle unioni dei vari aperti (che nelle vecchie topologie ci sono), per evitare contraddizioni.
Però non mi convince, perché non sono sicuro così che ci siano le intersezioni di aperti appartenenti a topologie all'inizio diverse.
Spero di essermi spiegato sufficientemente, altrimenti provvedo.
Grazie a chi vorrà intervenire in merito,
buona serata!
Risposte
Spero di aver afferrato il problema, data l'ora. Alcune osservazioni in ordine:
1) Stai cercando l'estremo superiore della famiglia $Theta:=\{\theta_s\}_(s\in S)$?
Allora nella frase:
$"TOP"(X)$ deve essere sostituito da $Theta$.
(Anche perchè è facilissimo vedere che $"sup " "TOP"(X)=P(X)$, con $P(X)$ topologia discreta.)
2) Se devi intersecare $A_s$ con $X$, tanto vale prendere solo $A_s$ e considerarlo come intersezione della famiglia finita di aperti $\{A_s\}$ (ricorda che tra tutti i possibili insiemi finiti d'indici ci sono i singleton $\{ s\} \subseteq S$).
Questo fatto mostra che ogni $theta_s$ è contenuto in $B$.
3) Mi pare che $theta_s$ sia una base per sé stessa; dunque l'inclusione provata in 2), cioè $theta_s\subseteq B$, implica che $theta_s\subseteq \bar(theta)$ (per passaggio alla topologia generata).
1) Stai cercando l'estremo superiore della famiglia $Theta:=\{\theta_s\}_(s\in S)$?
Allora nella frase:
"Steven":
se un aperto appartiene ad una qualsiasi topologia di $"TOP"(X)$
$"TOP"(X)$ deve essere sostituito da $Theta$.
(Anche perchè è facilissimo vedere che $"sup " "TOP"(X)=P(X)$, con $P(X)$ topologia discreta.)
2) Se devi intersecare $A_s$ con $X$, tanto vale prendere solo $A_s$ e considerarlo come intersezione della famiglia finita di aperti $\{A_s\}$ (ricorda che tra tutti i possibili insiemi finiti d'indici ci sono i singleton $\{ s\} \subseteq S$).
Questo fatto mostra che ogni $theta_s$ è contenuto in $B$.
3) Mi pare che $theta_s$ sia una base per sé stessa; dunque l'inclusione provata in 2), cioè $theta_s\subseteq B$, implica che $theta_s\subseteq \bar(theta)$ (per passaggio alla topologia generata).
Ciao, e grazie per la risposta.
1) Sono d'accordo, leggerezza mia.
2)
Va bene.
Leggendo negli appunti che l'intersezione inglobava $n$ aperti, ovvero la forma $A_(s_1)\nnn...\nnnA_(s_n)$, pensavo che necessariamente dovevo prenderne $n$.
3)
Non riesco a seguirti.
$theta_s$ è base per lei stessa, va bene.
Ma non mi viene ora come usare questo fatto per affermare
$theta_s\subseteq B \implies theta_s\subseteq \bar(theta)$
Deve esserci qualche teorema che non ho fatto, o che mi sfugge, anche a giudicare dalla frase
"(per passaggio alla topologia generata)".
Grazie ancora per l'attenzione, buone cose
1) Sono d'accordo, leggerezza mia.
2)
Va bene.
Leggendo negli appunti che l'intersezione inglobava $n$ aperti, ovvero la forma $A_(s_1)\nnn...\nnnA_(s_n)$, pensavo che necessariamente dovevo prenderne $n$.
3)
Non riesco a seguirti.
$theta_s$ è base per lei stessa, va bene.
Ma non mi viene ora come usare questo fatto per affermare
$theta_s\subseteq B \implies theta_s\subseteq \bar(theta)$
Deve esserci qualche teorema che non ho fatto, o che mi sfugge, anche a giudicare dalla frase
"(per passaggio alla topologia generata)".
Grazie ancora per l'attenzione, buone cose
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