[TOPOLOGIA] Topologia quoziente e indotta su circolo
Salve, sono alle prese con l'(elementare) esercizio allegato (es. 5.3(c), pag. 29 del Kosniowski). Non ho mai seguito un corso di topologia, e procedo un po' a tentoni. Cambio leggermente notazione, ma il concetto dovrebbe essere lo stesso.
Topologia indotta
$S^1 \subset R^2$; allora gli aperti di $S^1$ sono semplicemente $U \cap \S^1$, con $U$ aperti usuali di $R^2$, ossia "archi senza estremi".
Topologia quoziente
La topologia quoziente può essere definita equivalentemente da un'applicazione suriettiva o da una relazione di equivalenza. Si ha la relazione di equivalenza su $\R$: $t ~ u \Leftrightarrow t=u+2k\pi, k \in \Z$; l'insieme quoziente per $~$ è $S_{"astratto"}^1 = \R / ~$.
La proiezione naturale (suriettiva), che associa ad ogni reale la sua classe di equivalenza in $S_{"astratto"}^1$, è data da $\pi: \R \rightarrow S_{"astratto"}^1, \pi (t) = [t] = {u : u+2k\pi = t, k \in \Z }$. Ossia $t ~ u \Leftrightarrow \pi(t)=\pi(u)$.
Ora, per definizione di topolgia quoziente, un sottoinsieme di $S_{"astratto"}^1$ (quindi un insieme i cui elementi sono classi di equivalenza) è aperto in $S_{"astratto"}^1$ se e solo se la sua preimmagine tramite $\pi$ è aperta (nel senso usuale) in $\R$:
$S_{"astratto"}^1 \supset A \quad \text{aperto} \Leftrightarrow \R \supset \pi^{-1}(A) \quad \text{aperto}$
Quindi, ad esempio, un aperto di $S_{"astratto"}^1$ è del tipo $\pi(I) = {[t] : t \in I}$, con $I$ intervallo aperto di $\R$. Giusto
Per avere un'idea un po' più concreta di $S_{"astratto"}^1$ si può etichettare ciascun suo elemento, quindi ciascuna classe di equivalenza, in modo unico; ad esempio ponendo $f: S_{"astratto"}^1 \rightarrow \R^2, [t] \mapsto (\cos u, \sin u) \forall u \in [t]$, ben posta. Brevemente, $f([t]) = (\cos t, \sin t)$. In questo modo, $f(S_{"astratto"}^1) = S^1 \subset \R^2$, "solito" circolo unitario.
Quindi
$ f \circ \pi : R \rightarrow \R^2$
$(f \circ \pi)(t)=(\cos t, \sin t)$
$(f \circ \pi)(\R) = S^1 \subset \R^2$
Posso cercare gli aperti di $S^1$ come $A \subset S^1 \quad \text{aperto} \Leftrightarrow (f \circ \pi)^{-1}(A) \quad \text{aperto}$
In tal caso un aperto di $S^1$ sarebbe ad esempio del tipo $ (f \circ \pi)(I) = {(\cos t, \sin t) : t \in I}$, con $I$ intervallo aperto di $\R$.
Più in generale, si parte da aperti di $\R$ fatti da unioni di intervalli aperti; in ogni caso, mi pare che gli aperti di $S^1$ siano "archi senza estremi", proprio come nel caso della topologia indotta dalla topologia euclidea di $R^2$.
Quindi, se il ragionamento è corretto, intuitivamente si ottengono gli stessi aperti per $S^1$ con la topologia quoziente e la topologia indotta; ma come si costruisce formalmente l'omeomorfismo tra gli spazi topologici $(S^1,T_{"quoziente"})$ e $(S^1,T_{"indotta"})$
Grazie a chi volesse darmi una mano
Topologia indotta
$S^1 \subset R^2$; allora gli aperti di $S^1$ sono semplicemente $U \cap \S^1$, con $U$ aperti usuali di $R^2$, ossia "archi senza estremi".
Topologia quoziente
La topologia quoziente può essere definita equivalentemente da un'applicazione suriettiva o da una relazione di equivalenza. Si ha la relazione di equivalenza su $\R$: $t ~ u \Leftrightarrow t=u+2k\pi, k \in \Z$; l'insieme quoziente per $~$ è $S_{"astratto"}^1 = \R / ~$.
La proiezione naturale (suriettiva), che associa ad ogni reale la sua classe di equivalenza in $S_{"astratto"}^1$, è data da $\pi: \R \rightarrow S_{"astratto"}^1, \pi (t) = [t] = {u : u+2k\pi = t, k \in \Z }$. Ossia $t ~ u \Leftrightarrow \pi(t)=\pi(u)$.
Ora, per definizione di topolgia quoziente, un sottoinsieme di $S_{"astratto"}^1$ (quindi un insieme i cui elementi sono classi di equivalenza) è aperto in $S_{"astratto"}^1$ se e solo se la sua preimmagine tramite $\pi$ è aperta (nel senso usuale) in $\R$:
$S_{"astratto"}^1 \supset A \quad \text{aperto} \Leftrightarrow \R \supset \pi^{-1}(A) \quad \text{aperto}$
Quindi, ad esempio, un aperto di $S_{"astratto"}^1$ è del tipo $\pi(I) = {[t] : t \in I}$, con $I$ intervallo aperto di $\R$. Giusto
Per avere un'idea un po' più concreta di $S_{"astratto"}^1$ si può etichettare ciascun suo elemento, quindi ciascuna classe di equivalenza, in modo unico; ad esempio ponendo $f: S_{"astratto"}^1 \rightarrow \R^2, [t] \mapsto (\cos u, \sin u) \forall u \in [t]$, ben posta. Brevemente, $f([t]) = (\cos t, \sin t)$. In questo modo, $f(S_{"astratto"}^1) = S^1 \subset \R^2$, "solito" circolo unitario.
Quindi
$ f \circ \pi : R \rightarrow \R^2$
$(f \circ \pi)(t)=(\cos t, \sin t)$
$(f \circ \pi)(\R) = S^1 \subset \R^2$
Posso cercare gli aperti di $S^1$ come $A \subset S^1 \quad \text{aperto} \Leftrightarrow (f \circ \pi)^{-1}(A) \quad \text{aperto}$
In tal caso un aperto di $S^1$ sarebbe ad esempio del tipo $ (f \circ \pi)(I) = {(\cos t, \sin t) : t \in I}$, con $I$ intervallo aperto di $\R$.
Più in generale, si parte da aperti di $\R$ fatti da unioni di intervalli aperti; in ogni caso, mi pare che gli aperti di $S^1$ siano "archi senza estremi", proprio come nel caso della topologia indotta dalla topologia euclidea di $R^2$.
Quindi, se il ragionamento è corretto, intuitivamente si ottengono gli stessi aperti per $S^1$ con la topologia quoziente e la topologia indotta; ma come si costruisce formalmente l'omeomorfismo tra gli spazi topologici $(S^1,T_{"quoziente"})$ e $(S^1,T_{"indotta"})$
Grazie a chi volesse darmi una mano
Risposte
Ci ho pensato per poco tempo quindi magari mi sbaglio, ma penso sia una conseguenza fatto che la immersione di \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}^2\) data dalla mappa esponenziale è continua.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo