TOPOLOGIA spazi quoziente e T2
Sapreste darmi delle dritte riguardo questo esercizio?
La differenza nel caso in cui alfa sia irrazionale o razionale penso sia che nel primo caso riesco ad identificare un insieme di punti densi in S1 , mentre nel secondo caso no. Però non so proprio come continuare...
La differenza nel caso in cui alfa sia irrazionale o razionale penso sia che nel primo caso riesco ad identificare un insieme di punti densi in S1 , mentre nel secondo caso no. Però non so proprio come continuare...
Risposte
Se identifichi un sottoinsieme denso, come sono fatti gli aperti della topologia quoziente?
Se identifico un sottoinsieme denso di un insieme, ho la topologia banale sullo spazio quoziente, questo so dimostrarlo nel caso dei R e Q perché riesco a vedere lo spazio quoziente come azione del gruppo dei razionali sui reali, però in questo caso non so come posso rivedere la mia azione di un gruppo...
Comunque forse per il caso alfa irrazionale ok devo ragionare come ragionerei per R e Q e dimostro che vi è la topologia banale, alla fine penso di aver capito, basta che scrivo z e z1 in forma esponenziale e riesco ad esplicitare la mia relazione di equivalenza in termini della differenza di due parametri theta e theta1 che sono l'angolo che formano z e z1 nel piano complesso. Nel caso razionale invece non ho idea di come fare...
Comunque forse per il caso alfa irrazionale ok devo ragionare come ragionerei per R e Q e dimostro che vi è la topologia banale, alla fine penso di aver capito, basta che scrivo z e z1 in forma esponenziale e riesco ad esplicitare la mia relazione di equivalenza in termini della differenza di due parametri theta e theta1 che sono l'angolo che formano z e z1 nel piano complesso. Nel caso razionale invece non ho idea di come fare...
Se vuoi vederlo come quoziente rispetto a un'azione di gruppo, il gruppo è $G=\{e^{ip\alpha}:p\in\mathbb Z\}$, che è un gruppo finito quando $\alpha$ è razionale. Questo significa che ogni punto di $\mathbb S^1/G$ ha un numero finito di preimmagini in $\mathbb S^1$, che a sua volta è di Hausdorff. Intuisci come prosegue il ragionamento?
Allora premetto che non ho seguito un corso di topologia, bensì durante il corso di geometria differenziale, abbiamo trattato per i primi 25 giorni la parte di topologia e a GRANDI linee abbiamo fatto quasi tutto per un primo corso di topologia.
Purtroppo non abbiamo affrontato come si dovrebbe, tutti gli argomenti in quanto questo corso di Geometria è da 9 cfu, e considerando che la parte di geometria comprende curve , superfici, geodetiche e teorema di Gauss Bonnet (in poche parole l'Abate Tovena), non potevamo soffermarci troppo in topologia, ma era doveroso farlo per una buona riuscita del corso.
Detto ciò provo a risponderti: il fatto che mi hai specificato che le controimmagini sono finite e che S1 è T2 mi fa pensare che dovrei considerare in S1 gli elementi che identifico tramite la relazione di equivalenza e i loro aperti disgiunti che li separano, a questo punto facendo la proiezione sul quoziente di ognuno dei precedenti aperti ottengo una famiglia numerabile di aperti (poichè la proiezione è aperta), perciò se ne faccio l'intersezione ottengo un aperto, e questo aperto è quello che mi garantisce la separazione T2 nello spazio quoziente per gli elementi che ho identificato. per gli altri elementi la separazione T2 viene dal fatto che S1 è T2.
Molto probabilmente ho scritto un mucchio di fesserie, ma l'unico ragionamento che mi è balzato in mente è questo.
Ti prego correggimi perché devo capire dove sbaglio, Grazie per le dritte!
Purtroppo non abbiamo affrontato come si dovrebbe, tutti gli argomenti in quanto questo corso di Geometria è da 9 cfu, e considerando che la parte di geometria comprende curve , superfici, geodetiche e teorema di Gauss Bonnet (in poche parole l'Abate Tovena), non potevamo soffermarci troppo in topologia, ma era doveroso farlo per una buona riuscita del corso.
Detto ciò provo a risponderti: il fatto che mi hai specificato che le controimmagini sono finite e che S1 è T2 mi fa pensare che dovrei considerare in S1 gli elementi che identifico tramite la relazione di equivalenza e i loro aperti disgiunti che li separano, a questo punto facendo la proiezione sul quoziente di ognuno dei precedenti aperti ottengo una famiglia numerabile di aperti (poichè la proiezione è aperta), perciò se ne faccio l'intersezione ottengo un aperto, e questo aperto è quello che mi garantisce la separazione T2 nello spazio quoziente per gli elementi che ho identificato. per gli altri elementi la separazione T2 viene dal fatto che S1 è T2.
Molto probabilmente ho scritto un mucchio di fesserie, ma l'unico ragionamento che mi è balzato in mente è questo.
Ti prego correggimi perché devo capire dove sbaglio, Grazie per le dritte!
Mi sembra che l'idea sia giusta, dai una forma più chiara a quello che dici.
Per esempio, iniziamo a dare dei nomi: sono dati due punti $P,Q\in\mathbb S^1/G$, $P\ne Q$.
Le loro preimmagini in $\mathbb S^1$ le chiamiamo...
Prendiamo dei loro intorni in $\mathbb S^1$ e li chiamiamo...
Costruiamo un intorno di $P$ in $\mathbb S^1/G$ così...
Costruiamo un intorno di $Q$ così...
Questi intorni sono disgiunti se... eccetera.
Per esempio, iniziamo a dare dei nomi: sono dati due punti $P,Q\in\mathbb S^1/G$, $P\ne Q$.
Le loro preimmagini in $\mathbb S^1$ le chiamiamo...
Prendiamo dei loro intorni in $\mathbb S^1$ e li chiamiamo...
Costruiamo un intorno di $P$ in $\mathbb S^1/G$ così...
Costruiamo un intorno di $Q$ così...
Questi intorni sono disgiunti se... eccetera.
Grazie mille, scusami ma ho dei problemi per l'inserimento dei codici, ho volutamente usato quelle espressioni perché non ho idea di come scrivere tramite i codici 
Se provi a citare uno dei messaggi che ho scritto (cliccando sul riquadro "cita" in alto a destra) vedi qual è il codice che corrisponde alle formule 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo