Topologia, Sistema findamentale di intorni, proprietà.
Ciao a tutti.
Come dicevo a qualcuno, sono già alle prese con la Topologia (primo semestre), e ho difficoltà sui primi concetti.
Non so ancora bene come impostare le dimostrazioni, i metodi usuali etc.
Allora, parliamo di sistemi fondamentali di intorni.
Un sistema fondamentale di intorni è un insieme di intorni $beta_x$ di $x in X$ tali che per ogni intorno $U$ della stessa $x$, esiste sempre un altro intorno $V$ appartenente al sistema fondamentale tale che $V sube U$
C'è quindi la nota proprietà la quale dice che dati $U_1 \quad "e" \quad U_2 in beta_x$ allora esiste $U_3 sube U_1nnU_2$ e $U_3 in beta_x$
La dimostrazione non è data, io procederei così:
$U_1$ e $U_2$ sono aperti, quindi la loro intersezione è sempre un aperto (è una condizione per lo spazio topologico).
Dunque $U_1nnU_2$ è aperto e contiene $x$, quindi è intorno per $x$.
Ma se è intorno, deve esistere un intorno che prendiamo da $beta$ tale che gli stia dentro, e questo è $U_3$, che quindi è interno a $U_1nnU_2$ ed è intorno di $x$.
Aspetto correzioni o conferme.
Poi un'altra proprietà di questi sistemi fondamentali.
Dice così: se $x in U in beta_y$ allora esiste $V in beta_x$ tale che $V sube U$,
Non coprendo cosa dice di nuovo. Mi da un intorno $U$ e mi dice che nel sistema fondamentale ce ne è uno contenuto in esso, $V$.
Non bastava la definizione?
E poi chi è questo $y$ e quale è la sua funzione?
Sono due i punti che quindi vorrei chiarire.
Se non mi sono espresso bene, ditemelo.
Grazie in anticipo, a presto.
Come dicevo a qualcuno, sono già alle prese con la Topologia (primo semestre), e ho difficoltà sui primi concetti.
Non so ancora bene come impostare le dimostrazioni, i metodi usuali etc.
Allora, parliamo di sistemi fondamentali di intorni.
Un sistema fondamentale di intorni è un insieme di intorni $beta_x$ di $x in X$ tali che per ogni intorno $U$ della stessa $x$, esiste sempre un altro intorno $V$ appartenente al sistema fondamentale tale che $V sube U$
C'è quindi la nota proprietà la quale dice che dati $U_1 \quad "e" \quad U_2 in beta_x$ allora esiste $U_3 sube U_1nnU_2$ e $U_3 in beta_x$
La dimostrazione non è data, io procederei così:
$U_1$ e $U_2$ sono aperti, quindi la loro intersezione è sempre un aperto (è una condizione per lo spazio topologico).
Dunque $U_1nnU_2$ è aperto e contiene $x$, quindi è intorno per $x$.
Ma se è intorno, deve esistere un intorno che prendiamo da $beta$ tale che gli stia dentro, e questo è $U_3$, che quindi è interno a $U_1nnU_2$ ed è intorno di $x$.
Aspetto correzioni o conferme.
Poi un'altra proprietà di questi sistemi fondamentali.
Dice così: se $x in U in beta_y$ allora esiste $V in beta_x$ tale che $V sube U$,
Non coprendo cosa dice di nuovo. Mi da un intorno $U$ e mi dice che nel sistema fondamentale ce ne è uno contenuto in esso, $V$.
Non bastava la definizione?
E poi chi è questo $y$ e quale è la sua funzione?
Sono due i punti che quindi vorrei chiarire.
Se non mi sono espresso bene, ditemelo.
Grazie in anticipo, a presto.
Risposte
Per la prima domanda: non era più semplice dire $U_3=U_1nnU_2$? Anche perché non è detto che dato un punto e un suo intorno, si possa trovare un altro intorno contenuto propriamente nel primo. Esempio fessissimo: un insieme X con la topologia banale. Come lo trovi un intorno contenuto propriamente in X?
P.S.:Mentre la seconda proprietà dipende dalla definizione di intorno che hai tu. Se per "intorno" intendi "insieme aperto conenente il punto", allora lì c'è scritto esattamente che "ogni aperto è intorno di ogni suo punto" che è una caratterizzazione degli aperti. Fammi sapere!
P.S.:Mentre la seconda proprietà dipende dalla definizione di intorno che hai tu. Se per "intorno" intendi "insieme aperto conenente il punto", allora lì c'è scritto esattamente che "ogni aperto è intorno di ogni suo punto" che è una caratterizzazione degli aperti. Fammi sapere!
"dissonance":
Per la prima domanda: non era più semplice dire $U_3=U_1nnU_2$? Anche perché non è detto che dato un punto e un suo intorno, si possa trovare un altro intorno contenuto propriamente nel primo. Esempio fessissimo: un insieme X con la topologia banale. Come lo trovi un intorno contenuto propriamente in X?
Era più semplice, ma sbagliato! Per convincertene, prendi ad esempio in $RR$ con la topologia usuale la famiglia di intervalli del tipo $(-\frac{1}{n}, \frac{1}{2n})$ o $(-\frac{1}{2n}, \frac{1}{n})$. Questa è ovviamente un sistema fondamentale di intorni di 0, però $(-1, \frac{1}{2}) \cap (-\frac{1}{2}, 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ non vi appartiene. Il procedimento corretto è quello indicato da Steven (il quale in sostanza dimostra che la sua famiglia è un insieme diretto dalla relazione di inclusione).
Aaaaahhhnnnn... voi parlate di un sistema fondamentale di intorni e non di tutti gli intorni... eh sì avevo detto una fesseria. vabbé 
Fantastico il fatto che facciate topologia il primo anno: senza, l'analisi ha quel gusto un po' nebuloso che per esempio ci faceva intuire la nostra prof quando diceva "eh qua ci vorrebbero delle nozioni di topologia" (e tutti a domandarsi a quale strano santo si stesse riferendo). Per noi topologia era un corso facoltativo del terzo anno (una cosa assurda: non si può prescindere dalla topologia).
Ciao a tutti, e grazie.
Ecco la definizione di intorno che ho:
Dato uno spazio topologico $(X,theta)$, allora $U in X$ è intorno di $x$ se esiste un aperto appartenente a $theta$ t.c. $x inA sube U$
Se il suo intento era di dire ciò che intendi tu (ogni aperto è intorno di ogni suo punto), a che pro tirare in ballo un nuovo elemento $y$ e il relativo sistema fondamentale di intorni $beta_y$?
Quello che dico è, non si poteva trattare $U sube beta_y$ come un normale intorno, per rendere sufficiente la definizione di sistema fondamentale? Perché puntualizzare?
Grazie mille per l'intervento.
Tuttavia, devo aggiungere una cosa: oggi leggevo sul Sernesi (Geometria 2) che non necessariamente gli insiemi del sistema fondamentale $beta$ sono aperti. Questo renderebbe invalida la mia dimostrazione, che si basa sul fatto che $U_1, U_2$ sono aperti.
Posso integrarla in qualche modo, dici?
ps: cosa intendi per "sistema diretto dalla relazione di inclusione"? Mi è nuova questa cosa.
Capisco. Mi sta dando qualche noia, ho perso le prime tre lezioni per giunta.
Mi fa piacere sapere che almeno è una fatica ben spesa
Grazie ancora, buona serata!
"dissonance":
P.S.:Mentre la seconda proprietà dipende dalla definizione di intorno che hai tu. Se per "intorno" intendi "insieme aperto conenente il punto", allora lì c'è scritto esattamente che "ogni aperto è intorno di ogni suo punto" che è una caratterizzazione degli aperti. Fammi sapere!
Ecco la definizione di intorno che ho:
Dato uno spazio topologico $(X,theta)$, allora $U in X$ è intorno di $x$ se esiste un aperto appartenente a $theta$ t.c. $x inA sube U$
Se il suo intento era di dire ciò che intendi tu (ogni aperto è intorno di ogni suo punto), a che pro tirare in ballo un nuovo elemento $y$ e il relativo sistema fondamentale di intorni $beta_y$?
Quello che dico è, non si poteva trattare $U sube beta_y$ come un normale intorno, per rendere sufficiente la definizione di sistema fondamentale? Perché puntualizzare?
"Chevtchenko":
Il procedimento corretto è quello indicato da Steven (il quale in sostanza dimostra che la sua famiglia è un insieme diretto dalla relazione di inclusione).
Grazie mille per l'intervento.
Tuttavia, devo aggiungere una cosa: oggi leggevo sul Sernesi (Geometria 2) che non necessariamente gli insiemi del sistema fondamentale $beta$ sono aperti. Questo renderebbe invalida la mia dimostrazione, che si basa sul fatto che $U_1, U_2$ sono aperti.
Posso integrarla in qualche modo, dici?
ps: cosa intendi per "sistema diretto dalla relazione di inclusione"? Mi è nuova questa cosa.
"Martino":
Fantastico il fatto che facciate topologia il primo anno: senza, l'analisi ha quel gusto un po' nebuloso che per esempio ci faceva intuire la nostra prof quando diceva "eh qua ci vorrebbero delle nozioni di topologia" (e tutti a domandarsi a quale strano santo si stesse riferendo). Per noi topologia era un corso facoltativo del terzo anno (una cosa assurda: non si può prescindere dalla topologia).
Capisco. Mi sta dando qualche noia, ho perso le prime tre lezioni per giunta.
Mi fa piacere sapere che almeno è una fatica ben spesa
Grazie ancora, buona serata!
@ Steven: abbi pazienza, io avevo inteso che $beta_x$ fosse la famiglia di tutti gli intorni di $x$, cioè di tutti gli insiemi contenenti qualche aperto contenente $x$. Lascia perdere quello che ho detto nel post precedente.
Detto questo, la seconda proprietà che dici tu mi pare falsa. A parole, lì c'è scritto che preso un intorno di $y$ nel sist. fondamentale, e preso $x$ in questo intorno trovi un intorno di $x$ in un sist. fond. di intorni di $x$ contenuto nell'intorno di $y$. Giusto? Se ho capito bene questo non è vero. Come dicevi tu stesso, con questa definizione gli intorni possono benissimo non essere aperti, riprendendo ciò che dice Chevtchenko possiamo prendere, come sist. fond. di intorni di $0$ sulla retta reale la famiglia ${[-1/n, 1/n]}$. Difatti ogni aperto contenente $0$ deve contenere un qualche intervallo $(a, b), a<0, b>0$ e noi sappiamo che si può trovare un $n$ tale che $[-1/n, 1/n]sub(a,b)$. Inoltre $(-1/n, 1/n)$ è aperto e contiene $0$. Però questi intorni non sono aperti: allora, riprendendo le tue notazioni abbiamo $y=0$, e scegliamo $x=1$. $x\in[-1, 1]$. Tuttavia non puoi trovare nessun aperto della retta reale che contenga $x$ e sia contenuto in $[-x, x]$.
P.S.: E per quanto riguarda l'intersezione di $U1$ e $U2$, è vero che non sono aperti ma contengono due aperti, $V1, V2$. Questi ultimi non sono vuoti (c'è dentro almeno $x$) e anche la loro intersezione non è vuota (anche nell'intersezione c'è almeno $x$). Inoltre $V1nnV2subU1nnU2$.
Detto questo, la seconda proprietà che dici tu mi pare falsa. A parole, lì c'è scritto che preso un intorno di $y$ nel sist. fondamentale, e preso $x$ in questo intorno trovi un intorno di $x$ in un sist. fond. di intorni di $x$ contenuto nell'intorno di $y$. Giusto? Se ho capito bene questo non è vero. Come dicevi tu stesso, con questa definizione gli intorni possono benissimo non essere aperti, riprendendo ciò che dice Chevtchenko possiamo prendere, come sist. fond. di intorni di $0$ sulla retta reale la famiglia ${[-1/n, 1/n]}$. Difatti ogni aperto contenente $0$ deve contenere un qualche intervallo $(a, b), a<0, b>0$ e noi sappiamo che si può trovare un $n$ tale che $[-1/n, 1/n]sub(a,b)$. Inoltre $(-1/n, 1/n)$ è aperto e contiene $0$. Però questi intorni non sono aperti: allora, riprendendo le tue notazioni abbiamo $y=0$, e scegliamo $x=1$. $x\in[-1, 1]$. Tuttavia non puoi trovare nessun aperto della retta reale che contenga $x$ e sia contenuto in $[-x, x]$.
P.S.: E per quanto riguarda l'intersezione di $U1$ e $U2$, è vero che non sono aperti ma contengono due aperti, $V1, V2$. Questi ultimi non sono vuoti (c'è dentro almeno $x$) e anche la loro intersezione non è vuota (anche nell'intersezione c'è almeno $x$). Inoltre $V1nnV2subU1nnU2$.
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