Topologia: riassunto delle proprietà degli spazi proiettivi
Vediamo se ho capito bene.
1. Gli spazi proeittivi (reali e complessi) sono: compatti, connessi per archi, di Hausdorff.
2. Lo spazio proeittivo reale unidimensionale è omeomorfo a $S^1$ e ha quindi come gruppo fondamentale $Z$.
3. Tutti gli spazi proiettivi reali a dimensione almeno due hanno come gruppo fondamentale $Z_2$.
4. Quindi nessuno spazio proiettivo reale è semplicemente connesso.
5. Lo spazio proeittivo complesso unidimensionale è omeomorfo a $S^2$ (sfera di Riemann) ed è quindi semplicemente connesso (ha il gruppo fondamentale banale).
Qual è il gruppo fondamentale degli spazi proeittivi complessi di dimensione da due in su?
Vi sono altre proprietà topologiche "notevoli" che ho dimenticato?
Grazie,
L.
1. Gli spazi proeittivi (reali e complessi) sono: compatti, connessi per archi, di Hausdorff.
2. Lo spazio proeittivo reale unidimensionale è omeomorfo a $S^1$ e ha quindi come gruppo fondamentale $Z$.
3. Tutti gli spazi proiettivi reali a dimensione almeno due hanno come gruppo fondamentale $Z_2$.
4. Quindi nessuno spazio proiettivo reale è semplicemente connesso.
5. Lo spazio proeittivo complesso unidimensionale è omeomorfo a $S^2$ (sfera di Riemann) ed è quindi semplicemente connesso (ha il gruppo fondamentale banale).
Qual è il gruppo fondamentale degli spazi proeittivi complessi di dimensione da due in su?
Vi sono altre proprietà topologiche "notevoli" che ho dimenticato?
Grazie,
L.
Risposte
Io aggiungerei che lo spazio proiettivo è una varietà topologica di dimensione n.
(Poi aggiungerei che il piano proiettivo è omeomorfo a $S^2$ identificando i punti diametralmente opposti della frontiera e che contiene un aperto omeomorfo al nastro di Moebius, ma direi che non sono cose fondamentali).
Sempre che poi nel tuo lungo elenco queste cose non siano già incluse o non siano comunque banali conseguenze (non è che sia molto competente, anzi mi scuso per la risposta un po' ingenua...)
(Poi aggiungerei che il piano proiettivo è omeomorfo a $S^2$ identificando i punti diametralmente opposti della frontiera e che contiene un aperto omeomorfo al nastro di Moebius, ma direi che non sono cose fondamentali).
Sempre che poi nel tuo lungo elenco queste cose non siano già incluse o non siano comunque banali conseguenze (non è che sia molto competente, anzi mi scuso per la risposta un po' ingenua...)
direi che il piano proiettivo reale non è orientabile e quindi non è immergibile in $R^3$.
Cosa intendi per gruppi fondamentali in dimensione maggiore?
ci sono due teorie, quella di Hurewicz (1935) dei gruppi di omotopia, che non conosco, e quella di Poincarè (1895) dei gruppi di omologia, che conosco solo per quanto riguarda il piano proiettivo reale $RRP^2$. Detto $H_n$ il gruppo di omologia di ordine $n$, vale
$H_0=ZZ$, $H_1=ZZ_2$, $H_n=0,n\ge2$
il primo si deduce dal fatto che è connesso per archi (l'$H_0$ è somma diretta di tante copie di $ZZ$ quante sono le componenti connesse per archi), il secondo si deduce dal fatto che l'$H_1$ è sempre uguale al gruppo fondamentale modulo il suo derivato, ma in questo caso il derivato è nullo (perchè abeliano) e quindi si ritrova il gruppo fondamentale.
In dimensione maggiore bisogna usare Mayer-Vietoris ...
Cosa intendi per gruppi fondamentali in dimensione maggiore?
ci sono due teorie, quella di Hurewicz (1935) dei gruppi di omotopia, che non conosco, e quella di Poincarè (1895) dei gruppi di omologia, che conosco solo per quanto riguarda il piano proiettivo reale $RRP^2$. Detto $H_n$ il gruppo di omologia di ordine $n$, vale
$H_0=ZZ$, $H_1=ZZ_2$, $H_n=0,n\ge2$
il primo si deduce dal fatto che è connesso per archi (l'$H_0$ è somma diretta di tante copie di $ZZ$ quante sono le componenti connesse per archi), il secondo si deduce dal fatto che l'$H_1$ è sempre uguale al gruppo fondamentale modulo il suo derivato, ma in questo caso il derivato è nullo (perchè abeliano) e quindi si ritrova il gruppo fondamentale.
In dimensione maggiore bisogna usare Mayer-Vietoris ...
"ubermensch":
Cosa intendi per gruppi fondamentali in dimensione maggiore?
Scusami, mi sono espresso male!
Volevo semplicemente dire $P^n$ con $n\ge 2$.Grazie,
L.
Qual è il gruppo fondamentale degli spazi proeittivi complessi di dimensione da due in su?
sono semplicemente connessi $AA n>=0$
"Lorenzo Pantieri":
[quote="ubermensch"]
Cosa intendi per gruppi fondamentali in dimensione maggiore?
Scusami, mi sono espresso male!
Volevo semplicemente dire $P^n$ con $n\ge 2$.Grazie,
L.[/quote]
ok... è che in topologia algebrica si usa proprio quella locuzione per parlare di omotopia o omologia ... forse ero io che dovevo interpretare meglio in base al contesto... comunque ti ha risp miuemia ..
Grazie a tutti! 
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