Topologia quoziente e assiomi di separazione
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio di topologia che mi sta facendo dannare perché non riesco a descrivere gli aperti della topologia quoziente e quindi non so come poter andare avanti per verificare gli assiomi di separazione.
Sol.:
Come detto, non riesco a capire chi sono gli aperti...
Innanzitutto cerco di visualizzare come è fatto lo spazio quoziente. In sostanza, identifico gli intervalli [0,1) e [4,5). Quindi ho che $0-=4 $. Come sono "messi" però $1$ e $5$? Mi viene da dire estremamente vicini, visto che se fossero inclusi nella definizione della relazione di equivalenza questi andrebbero a coincidere.
Gli aperti nel qouziente sono gli $A$ tali che $\pi^{-1}(A) \in \tau_e$.
Se $A=(a,b)$, con $1 \in A$, allora $\pi^{-1}(A)=(a,1) \uuu [1,b)$, ma questo non mi sembra proprio appartenere alla topologia indotta da quella euclidea su $X$...
Per insiemi invece del tipo $(a,b)$ con $1 \notin (a,b)$ invece $\pi^{-1}(a,b) \in \tau_e$.
Nella traccia della soluzione leggo che "ogni intorno di $1$ interseca non banalmente ogni intorno di $5$... non riesco però a capire come sono fatti gli intorni di $1$ e $5$!
Grazie infinite per l'attenzione.
sono alle prese con questo esercizio di topologia che mi sta facendo dannare perché non riesco a descrivere gli aperti della topologia quoziente e quindi non so come poter andare avanti per verificare gli assiomi di separazione.
Testo:
Sia $X=[0,2] \uu [4,6]$ sottospazio topologico di $RR,\tau_e$ con la topologia indotta.
Sia data la seguente relazione di equivalenza su $X$:
$ x ~ y <=>{ ( x=y " if " x\in [1,2] \uu [5,6] ),( x=y vv y=x+4 " if " x\in [0,1) ),( x=y vv y=x-4 " if " x \in [4,5)):} $
Descrivere la proprietà di separazione del quoziente $X \\ ~ $.
Sol.:
Come detto, non riesco a capire chi sono gli aperti...
Innanzitutto cerco di visualizzare come è fatto lo spazio quoziente. In sostanza, identifico gli intervalli [0,1) e [4,5). Quindi ho che $0-=4 $. Come sono "messi" però $1$ e $5$? Mi viene da dire estremamente vicini, visto che se fossero inclusi nella definizione della relazione di equivalenza questi andrebbero a coincidere.
Gli aperti nel qouziente sono gli $A$ tali che $\pi^{-1}(A) \in \tau_e$.
Se $A=(a,b)$, con $1 \in A$, allora $\pi^{-1}(A)=(a,1) \uuu [1,b)$, ma questo non mi sembra proprio appartenere alla topologia indotta da quella euclidea su $X$...
Per insiemi invece del tipo $(a,b)$ con $1 \notin (a,b)$ invece $\pi^{-1}(a,b) \in \tau_e$.
Nella traccia della soluzione leggo che "ogni intorno di $1$ interseca non banalmente ogni intorno di $5$... non riesco però a capire come sono fatti gli intorni di $1$ e $5$!
Grazie infinite per l'attenzione.
Risposte
Non è quasi mai una buona idea descrivere esplicitamente gli aperti di una topologia. Solitamente si fa così: la descrizione di come si ottiene \(X/_{\!\sim}\) ti fa fare il disegno di uno spazio $Y$. Da questo disegno cerchi di definire una mappa \( Y \to X/_{\!\sim}\) che sia un omeomorfismo. A questo punto, se proprio vuoi, descrivi la topologia di $Y$, perché avendolo già disegnato essa è semplice 
Ciao, grazie della risposta !
Tuttavia in questo caso ero interessato a descrivere le proprietà di separazione del quoziente, perciò volevo cercare di capire come sono fatti gli aperti. Non c'è un altro modo che non coinvolga omeomorfismi? Per esempio vorrei mostrare che questo spazio non è $T_2$, ma non so proprio come procedere perché per parlare di intorni devo sapere chi sono gli aperti.
Tuttavia in questo caso ero interessato a descrivere le proprietà di separazione del quoziente, perciò volevo cercare di capire come sono fatti gli aperti. Non c'è un altro modo che non coinvolga omeomorfismi? Per esempio vorrei mostrare che questo spazio non è $T_2$, ma non so proprio come procedere perché per parlare di intorni devo sapere chi sono gli aperti.
Si ma non c'è bisogno di sapere come sono fatti tutti gli aperti, ad esempio per vedere che non è $T_2$, puoi prendere i punti $[1]$ e $[5]$ (le classi di equivalenza), e osservi che una qualsiasi coppia di aperti contenenti $[1]$ e $[5]$ (uno ciascuno) si interseca non banalmente.
grazie anche a te per la risposta! CI sono, solo che volevo esibirne esplicitamente uno!
Uno di che?
Un aperto contenente sia $[1]$ che $[5]$
E che te ne faresti? Se vuoi prendi direttamente tutto lo spazio, è aperto e contiene entrambi.
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