Topologia quoziente delucidazioni

[elijsa1]

ciao a tutti. volevo cercare di capirci qualcosa di piu della topologia quoziente. a lezione è stata definita e fattialcuni esempi abbastanza incomprensibili. qualcuno mi puo spiegare cosa significa fare il quoziente con una certa relazione di equivalenza? es. mi trovo un esercizio del tipo:

$(X,t) , (X\\sim , T\sim)$ con $\sim$ relazione di equivalenza. dimostrare che se $X$ ha la topologia discreta allora anche $X \\sim$
ha la topologia discreta.
non voglio sapere come si fa immagino che si debba prendere un aperto della topologia discreta e far vedere che la proiezione è un aperto della topologia discreta ma non capisco cosa significa essere un aperto della topologia discreta nel quoziente? grazie

[cirasa]

Se indichi con [tex]\pi:X\to X/\sim[/tex] la proiezione, un sottoinsieme [tex]B\subset X/\sim[/tex] è aperto in [tex]X/\sim[/tex] se e solo se [tex]\pi^{-1}(B)[/tex] è aperto in [tex]X[/tex].

Per far vedere che [tex]X/\sim[/tex] ha la topologia discreta devi provare che qualsiasi sottoinsieme di [tex]X/\sim[/tex] è un aperto di [tex]X/\sim[/tex], cioè ha come controimmagine mediante [tex]\pi[/tex] un aperto di [tex]X[/tex].