Topologia quoziente
Vorrei dimostrare che lo spazio proiettivo reale $\mathbb{P}^n(RR)$ è una varietà topologica di dimensione $n$, ma ho troppa ruggine sul concetto di topologia quoziente. Se non mi ricordo male, data una applicazione $p:X\toY$ suriettiva, con $X$ spazio topologico, questa induce una topologia su $Y$ i cui aperti sono tutti e soli i sottoinsiemi di $Y$ le cui controimmagini sono aperti di $X$. Questa topologia si chiama topologia quoziente, e $p$ si chiama mappa quoziente . In pratica una mappa quoziente è una applicazione continua in senso forte, ovvero la controimmagine di una parte di $Y$ è un aperto di $X$ se e solo se la parte è un aperto di $Y$. Qui però finisce quello che mi ricordo, sul resto ho confusione mentale. Quindi:
come sono fatti gli aperti di $\mathbb{P}^n$?
qual'è la mappa quoziente (qui la risposta dovrebbe essere, ovviamente, la proiezione canonica)?
Se qualcuno mi dà un po' di spago magari riesco a sbloccarmi.
come sono fatti gli aperti di $\mathbb{P}^n$?
qual'è la mappa quoziente (qui la risposta dovrebbe essere, ovviamente, la proiezione canonica)?
Se qualcuno mi dà un po' di spago magari riesco a sbloccarmi.
Risposte
Aggiungo che considero $\mathbb{P}^n$ come l'insieme quoziente $(RR^(n+1)-{0})//\sim$, dove $\sim$ è la relazione di proporzionalità. Come la induco la topologia euclidea qua sopra?
La topologia quoziente è semplicemente l'insieme immagine della topologia di partenza tramite la proiezione(o mappa quoziente) cioè l'insieme delle parti del codominio la cui controimmagine è aperta nel dominio.
Non ho seguito completamente ciò che hai scritto nel primo post. Provo a rispondere alla domanda iniziale come farei io.
Varietà topologica=T2 + localmente omeomorfo a $RR^n$.
Prendi $RR^(n+1)-{0}$, quozienti, proietti su $\mathbb{P}^n$. Chiamiamo, con molta fantasia, $pi$ la proiezione.
Dimostri che $pi$ è aperta(*). E' una semplice verifica se ben ricordo.
Da questo deduci che $\mathbb{P}^n$ è T2, prendi due punti torni in $RR^(n+1)$, separi con due intorni e usi l'apertura di $pi$ ritornando nel proiettivo.
Poi consideri le carte canoniche di $\mathbb{P}^n$, cioè lo spazio meno l'iperpiano canonico i-esimo. L'applicazione $j_i$ che mappa la carta (ad esempio la 0-esima) in $RR^n$ tale che $[x_0,...,x_n] to (x_1/x_0,...,x_n/x_0)$ è bigettiva e continua e ha inversa continua. (Questo si verifica dicendo che è indotta al quoziente da una certa applicazione eccetera....). Quindi questa applicazione è un omeomorfismo e dunque prendi come atlante l'insieme delle carte canoniche e come carte (della varietà topologica) le applicazioni $j_i$.
Modulo errori credo sia tutto. Se sono stato troppo stringato chiedi pure.
(*)aperta=manda aperti in aperti.
Non ho seguito completamente ciò che hai scritto nel primo post. Provo a rispondere alla domanda iniziale come farei io.
Varietà topologica=T2 + localmente omeomorfo a $RR^n$.
Prendi $RR^(n+1)-{0}$, quozienti, proietti su $\mathbb{P}^n$. Chiamiamo, con molta fantasia, $pi$ la proiezione.
Dimostri che $pi$ è aperta(*). E' una semplice verifica se ben ricordo.
Da questo deduci che $\mathbb{P}^n$ è T2, prendi due punti torni in $RR^(n+1)$, separi con due intorni e usi l'apertura di $pi$ ritornando nel proiettivo.
Poi consideri le carte canoniche di $\mathbb{P}^n$, cioè lo spazio meno l'iperpiano canonico i-esimo. L'applicazione $j_i$ che mappa la carta (ad esempio la 0-esima) in $RR^n$ tale che $[x_0,...,x_n] to (x_1/x_0,...,x_n/x_0)$ è bigettiva e continua e ha inversa continua. (Questo si verifica dicendo che è indotta al quoziente da una certa applicazione eccetera....). Quindi questa applicazione è un omeomorfismo e dunque prendi come atlante l'insieme delle carte canoniche e come carte (della varietà topologica) le applicazioni $j_i$.
Modulo errori credo sia tutto. Se sono stato troppo stringato chiedi pure.
(*)aperta=manda aperti in aperti.
Non sei troppo stringato, sono io che avrei bisogno di qualche input sui punti specifici.
Allora quello che in questo momento non capisco è, per prima cosa, come sono fatti gli aperti di $\mathbb{P}^n$. Vedo dal tuo post che il fatto ($\mathbb{P}^n$ è di Hausdorff) segue dall'essere $pi$ aperta. Aggiungiamo che gli aperti di $\mathbb{P}^n$ sono tali se e solo se la loro controimmagine mediante $pi$ è aperta. Ovvero, la mappa quoziente è proprio $pi$. Giusto fin qui?
Quindi implicitamente qua mi dici che un sottoinsieme di $\mathbb{P}^n$, fatto di punti in coordinate omogenee (una cosa tipo ${[x_0, ..., x_n]\ |\ (x_0...x_n)\ "verificano una proprietà"})$ è aperto se e solo se l'insieme "deomogeneizzato" ${(x_0...x_n)\inRR^n}$ è un aperto in $RR^n-{0}$. Qui avrei bisogno di una conferma per vedere se ho capito bene.
Allora quello che in questo momento non capisco è, per prima cosa, come sono fatti gli aperti di $\mathbb{P}^n$. Vedo dal tuo post che il fatto ($\mathbb{P}^n$ è di Hausdorff) segue dall'essere $pi$ aperta. Aggiungiamo che gli aperti di $\mathbb{P}^n$ sono tali se e solo se la loro controimmagine mediante $pi$ è aperta. Ovvero, la mappa quoziente è proprio $pi$. Giusto fin qui?
Quindi implicitamente qua mi dici che un sottoinsieme di $\mathbb{P}^n$, fatto di punti in coordinate omogenee (una cosa tipo ${[x_0, ..., x_n]\ |\ (x_0...x_n)\ "verificano una proprietà"})$ è aperto se e solo se l'insieme "deomogeneizzato" ${(x_0...x_n)\inRR^n}$ è un aperto in $RR^n-{0}$. Qui avrei bisogno di una conferma per vedere se ho capito bene.
Sì, in entrambi i casi stai dicendo la stessa cosa. E' la definizione di topologia quoziente.
Prendi (X,$tau$) spazio topologico, Y insieme. f funzione suriettiva da X in Y. Consideri $sigma$ l'insieme delle parti di Y la cui controimmagine tramite f è un aperto di X. Allora $sigma$ è una topologia su Y, detta topologia quoziente.
Nel tuo caso prendi come f proprio la proiezione al quoziente $pi$ di $RR^(n+1)-{0}$ su $\mathbb{P}^n$ che è suriettiva.
Quindi la topologia euclidea induce al quoziente una "topologia euclidea proiettiva". E' la stessa cosa che si fa per qualunque struttura algebrica.
Prendi (X,$tau$) spazio topologico, Y insieme. f funzione suriettiva da X in Y. Consideri $sigma$ l'insieme delle parti di Y la cui controimmagine tramite f è un aperto di X. Allora $sigma$ è una topologia su Y, detta topologia quoziente.
Nel tuo caso prendi come f proprio la proiezione al quoziente $pi$ di $RR^(n+1)-{0}$ su $\mathbb{P}^n$ che è suriettiva.
Quindi la topologia euclidea induce al quoziente una "topologia euclidea proiettiva". E' la stessa cosa che si fa per qualunque struttura algebrica.
Da $pi$ aperta segue che $P^n$ è T2 in questo modo.
Prendi due punti nel proiettivo P e Q, ne consideri le controimmagini tramite $pi$. Le controimmagini le puoi separare con due aperti U e V in $RR^(n+1)$. Ora vuoi riportare il tutto nel proiettivo. Siccome $pi$ è aperta sai che le immagini di U e V sono aperti nel proiettivo che quindi separano i due punti P e Q.
Prendi due punti nel proiettivo P e Q, ne consideri le controimmagini tramite $pi$. Le controimmagini le puoi separare con due aperti U e V in $RR^(n+1)$. Ora vuoi riportare il tutto nel proiettivo. Siccome $pi$ è aperta sai che le immagini di U e V sono aperti nel proiettivo che quindi separano i due punti P e Q.
Ecco, quindi il grosso del discorso è che $pi$ è aperta. In altre parole se $X$ è uno spazio topologico e $p:X\toY$ è una mappa quoziente, (ovvero è suriettiva e strongly continuous: $p^(-1)(U)$ è aperto in $X$ $iff$ $U$ è aperto in $Y$) non è mica detto che valga ($X$ è di Hausdorff)$=>$($Y$ è di Hausdorff). E più in generale le proprietà di separazione non si trasferiscono al quoziente. Ma se $p$ è aperta, almeno la proprietà T2 si trasferisce. Vero?
Allora la proprietà T2 in generale non passa al quoziente. E quindi nemmeno T3 e T4. Le proprietà T0 e T1 non me lo ricordo bene, se non sbaglio T0 passa e T1 no, ma non ne sono sicuro. Se la mappa è aperta allora T2 passa al quoziente.
Non so esattamente cosa voglia dire strongly continuous. Il fatto è che la mappa quoziente definisce la topologia quoziente e quindi è continua per costruzione. Cioè la topologia quoziente è definita proprio in modo che la mappa quoziente sia continua. Ma a priori qualunque applicazione suriettiva è una mappa quoziente.
"Megan00b":
Non so esattamente cosa voglia dire strongly continuous. Il fatto è che la mappa quoziente definisce la topologia quoziente ...
Si si, non volevo fare casino su questo punto, ho scritto così perché pensavo di fare capire più velocemente. Quel fatto di "funzione continua in senso forte" l'avevo letto sul Munkres, so che alcuni autori usano questa dicitura per parlare di mappe quoziente. In pratica diremo che una mappa suriettiva $X\toY$ è quoziente se la topologia di $Y$ è la più fine tra quelle che la rendono continua, e allora diventa continua in senso forte perché bla bla bla. Assolutamente niente di nuovo, solo una maniera diversa di dire sempre la stessa cosa, come del resto capita sempre in topologia.
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