Topologia, proiezioni nel quoziente

[fu^2]

il mio bel libro lo dà come una cosa ovvia, in classe l'abbiamo accennato, ma a me non pare così ovvio, come sempre mostro la mia soluzione, secondo voi va bene questa soluzione?

"sia p un'identificazione di uno spazio topologico X (cioè $p:X->Y$ con Y uno spazio topologico dotato della topologia quoziente rispetto a p), allora se p è continua e biunivoca, allora p è una mappa aperta"

io so che $tau_Y={A:p^(-1)(A)\in\X " è aperto in X"}$, quindi se $U\sub\X$ aperto, devo computare $p(U)\in\Y$. sia quindi $V=uuA_i: A_i " aperti di Y"$, devo mostrare che $p(U)=V$.

Osservazione: se $f:X->Y$ è biunivoca, allora se $B\subX->ff^(-1)B=B$ e se $C\subY->f^(-1)fC=C$

quindi se ho un insieme $H\sub\Y$ aperto (cioè $p^(-1)(H)$ è aperto in X, $p(p^(-1)(H)=H$ che è un insime aperto, allora, se $V$ è aperto in Y, esisterà un aperto U di X tc $p^(-1)(V)=U$, quindi per l'osservazione fatta prima posso concludere che $V=p(U)$


giusto?

[alberto861]

scusa ma forse è più semplice: per costruzione tra gli aperti che vengono mappati in aperti ci sono quelli saturi cioè quelli per cui vale $p^(-1)(p(A))=A$ ora se l'applicazione è biunivoca per ogni insieme vale $p^(-1)(p(A))=A$ ed in particolare vale per tutti gli aperti di $X$ quindi tutti gli aperti di $X$ sono saturi e la mappa è aperta