Topologia prodotto

[leev]

Allora, se nn erro la base degli aperto della topologia prodotto XxY è formata da tutti gli insiemi della forma (U,V) con U e V aperti di X e Y; però esistono degli aperti di XxY che non sono di questa forma, avreste degli esempi a proposito da propormi?
Non riesco bene ad afferrare che cosa sono allora (U,V) se non sono entrambi aperti...

ciao

[Fioravante Patrone1]

una precisazione: non "la" base, ma "una" base (diciamo la solita, ma non è certo l'unica base)

cosa sono?
In $RR^2$ gli aperti di quella base sono "rettangolari"
quindi, per esempio, un cerchio non lo becchi
neanche un triangolo...


poi, questo:
"Non riesco bene ad afferrare che cosa sono allora (U,V) se non sono entrambi aperti... "
non capisco cosa vuoi dire

ciao

[leev]

per esempio, un cerchio non è una tale coppia di aperti, però sarà l'unione/intersezione di certe di queste coppie (giusto?); però alla fine di questo processo il cerchio potrà essere rappresentato con una coppia (A,B), questi A e B cosa saranno? ne aperti ne chiusi? (il che mi farebbe concludere che le intersezioni non son finite...)

grazie

[Fioravante Patrone1]

"leev":per esempio, un cerchio non è una tale coppia di aperti, però sarà l'unione/intersezione di certe di queste coppie (giusto?);

sì. Si può osservare, incidentalmente, che in questo caso servono infinite coppie

più importante: si parla solo di unioni. Non di intersezioni (quelle servirebbero se stessimo parlando di una sottobase)

"leev":però alla fine di questo processo il cerchio potrà essere rappresentato con una coppia (A,B)

NO. Cosa te lo fa pensare? Non è detto da nessuna parte...


ciao

[leev]

"Fioravante Patrone":
[quote="leev"]però alla fine di questo processo il cerchio potrà essere rappresentato con una coppia (A,B)

NO. Cosa te lo fa pensare? Non è detto da nessuna parte...
[/quote]

si in effetti ripensandoci ci sarebbe qualche problemino...

ma a sto punto si può allora affermare che: se un aperto è della forma (U,V), allora U e V sono anch'essi aperti nelle rispettive topologie?

[Fioravante Patrone1]

"leev":
ma a sto punto si può allora affermare che: se un aperto è della forma (U,V), allora U e V sono anch'essi aperti nelle rispettive topologie?

Immagino che quando tu dici che "un aperto è della forma (U,V)" tu voglia dire che è della forma $U \times V$.
Se così è, puoi effettivamente affermare che $U$ è aperto nello spazio topologico "prima coordinata" e $V$ nel secondo.

Trova tu perché

[leev]

si, intendevo proprio dire $U \times V$

Il mio perché sarebbe:
sia x in U;
$U \times V$ è ricoperto da un unione di aperti della forma $A \times B$, e tra questi ne esiste almeno uno, $A_x \times B$, tale che $x in A_x$.
$A_x$ incluso in U, e questo è vero per tutti gli x in U, dunque U aperto.

è corretto?