[TOPOLOGIA] Piano bucato omeomorfo a cilindro
Si dimostri che $RR^2 \setminus {(0,0)} \cong S^1 \times RR$. Niente di nuovo, trito e ritrito, ma avrei bisogno di una conferma sul procedimento.
In coordinate polari $RR^2 \setminus {(0,0)} = {(r\cos \theta, r\sin \theta) : (r,\theta) \in (0, \infty) \times [0,2\pi]}$
Analogamente si parametrizza il cilindro $S^1 \times RR = {(x,y,z) \in RR^3 : (x,y) \in S^1, z \in RR} = {(\cos \theta, \sin \theta, z) : z \in RR, \theta \in [0,2\pi]}$
Quindi è necessario esplicitare l'omeomorfismo $(0, \infty) \cong RR$; il logaritmo funge allo scopo.
$f: (0, \infty) \rightarrow RR, \quad z=f(r)=\ln r$
Quindi l'omeomorfismo tra il piano bucato ed il cilindro dovrebbe essere del tipo
$\psi: RR^2 \setminus {\vec{0}} \rightarrow S^1 \times RR, \quad (r\cos \theta, r\sin \theta) \mapsto (cos \theta, sin \theta, \ln r)$
$\psi^{-1} : S^1 \times RR \rightarrow RR^2 \setminus {\vec{0}}, \quad (\cos \theta, \sin \theta, z) \mapsto (\e^z \cos \theta, \e^z \sin \theta)$
Sono un po' a pezzi e potrei aver scritto delle belle cavolate
Può andare? Al solito, grazie a chi volesse rispondere 
In coordinate polari $RR^2 \setminus {(0,0)} = {(r\cos \theta, r\sin \theta) : (r,\theta) \in (0, \infty) \times [0,2\pi]}$
Analogamente si parametrizza il cilindro $S^1 \times RR = {(x,y,z) \in RR^3 : (x,y) \in S^1, z \in RR} = {(\cos \theta, \sin \theta, z) : z \in RR, \theta \in [0,2\pi]}$
Quindi è necessario esplicitare l'omeomorfismo $(0, \infty) \cong RR$; il logaritmo funge allo scopo.
$f: (0, \infty) \rightarrow RR, \quad z=f(r)=\ln r$
Quindi l'omeomorfismo tra il piano bucato ed il cilindro dovrebbe essere del tipo
$\psi: RR^2 \setminus {\vec{0}} \rightarrow S^1 \times RR, \quad (r\cos \theta, r\sin \theta) \mapsto (cos \theta, sin \theta, \ln r)$
$\psi^{-1} : S^1 \times RR \rightarrow RR^2 \setminus {\vec{0}}, \quad (\cos \theta, \sin \theta, z) \mapsto (\e^z \cos \theta, \e^z \sin \theta)$
Sono un po' a pezzi e potrei aver scritto delle belle cavolate
Può andare? Al solito, grazie a chi volesse rispondere
Risposte
Perché immergi il cilindro in \(\mathbb{R}^3\)? Inoltre non stai usando le coordinate nel modo corretto.
Nella definizione della funzione dovresti avere le coordinate globali o locali da un lato e la trasformazione dall'altra. Ma se già usi le coordinate polari per il primo allora di fatto la tua mappa è semplicemente \((\theta, r) \mapsto (\theta, \ln r)\) con inversa \((\theta, y) \mapsto (\theta, e^y)\).
Nella definizione della funzione dovresti avere le coordinate globali o locali da un lato e la trasformazione dall'altra. Ma se già usi le coordinate polari per il primo allora di fatto la tua mappa è semplicemente \((\theta, r) \mapsto (\theta, \ln r)\) con inversa \((\theta, y) \mapsto (\theta, e^y)\).
Provo a sistemare le coordinate. Esplicitando la trasformazione
$\Omega = (0, \infty) \times [0, 2\pi] ; \quad \quad \omega: \Omega \rightarrow \RR^2 \setminus {(0,0)} ; \quad \quad \omega(r,\theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta); \quad \quad \RR^2 \setminus {(0,0)} = \omega (\Omega)$
Mappo le semirette uscenti dall'origine (esclusa) del piano in rette sul cilindro:
$s_\theta = { (r \cos \theta, r \sin \theta) \in \RR^2 \setminus {(0,0)} : r \in (0, \infty) } $ viene mandata in $l_\theta = {(x,y,z) \in S^1 \times RR : x= \cos \theta, y=\sin \theta, z \in RR}$.
Quindi la mappa è
$\psi: RR^2 \setminus {(0,0)} \rightarrow S^1 \times RR, \quad (x,y) \mapsto (cos \theta, sin \theta, \ln r)$ dove $(r,\theta) = \omega^{-1}(x,y)$
Ho l'impressione di star rimescolando la stessa minestra senza aggiungere nulla.
Inoltre:
$\Omega = (0, \infty) \times [0, 2\pi] ; \quad \quad \omega: \Omega \rightarrow \RR^2 \setminus {(0,0)} ; \quad \quad \omega(r,\theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta); \quad \quad \RR^2 \setminus {(0,0)} = \omega (\Omega)$
Mappo le semirette uscenti dall'origine (esclusa) del piano in rette sul cilindro:
$s_\theta = { (r \cos \theta, r \sin \theta) \in \RR^2 \setminus {(0,0)} : r \in (0, \infty) } $ viene mandata in $l_\theta = {(x,y,z) \in S^1 \times RR : x= \cos \theta, y=\sin \theta, z \in RR}$.
Quindi la mappa è
$\psi: RR^2 \setminus {(0,0)} \rightarrow S^1 \times RR, \quad (x,y) \mapsto (cos \theta, sin \theta, \ln r)$ dove $(r,\theta) = \omega^{-1}(x,y)$
Ho l'impressione di star rimescolando la stessa minestra senza aggiungere nulla.
Inoltre:
- Come si procede senza immergere il cilindro in $RR^3$?[/list:u:1h9o1jz3]
- Il testo suggerisce di pensare al piano (bucato) come al piano complesso (bucato); il vantaggio è sostanziale? Alla fin fine si stratta semplicemente di lavorare con $z \in CC \setminus {0}, z=r e^{i \theta}$, insomma, mi pare solo un modo alternativo di introdurre le coordinate polari. C'è qualcosa di più sostanzioso? [/list:u:1h9o1jz3]
Cercando un po'
$\psi: RR^{n+1} \setminus {0} \rightarrow S^n \times (0, \infty), \quad x \mapsto (\frac{x}{||x||},||x||) = (u,r)$, continua.
$ \psi^{-1}: S^n \times (0, \infty) \rightarrow RR^{n+1} \setminus {0}, \quad (u,r) \mapsto ur = x $, continua.
ho trovato una soluzione generale. Il ragionamento di base è questo: dare un punto nel piano privato dell'origine è come dare un punto sul circolo (informazione sull'angolo) e un numero in $(0,\infty)$ (informazione sulla distanza dal centro). Analogamente, un punto nello spazio a tre dimensioni corrisponde ad un punto sulla sfera e ad un numero numero in $(0,\infty)$. E analogamente in dimensioni superiori, $RR^{n+1} \setminus {0} \cong S^n \times (0,\infty)$. Trovato questo omeomorfismo, il passaggio a $S^n \times RR$ si fa componendo con l'esponenziale, ossia $(0, \infty) \cong RR$, quindi basta studiare il primo problema, risolto da
$\psi: RR^{n+1} \setminus {0} \rightarrow S^n \times (0, \infty), \quad x \mapsto (\frac{x}{||x||},||x||) = (u,r)$, continua.
$ \psi^{-1}: S^n \times (0, \infty) \rightarrow RR^{n+1} \setminus {0}, \quad (u,r) \mapsto ur = x $, continua.
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