Topologia - intersezione degli intorni di un punto
Salve,
mi sto scontrando con un problema di topologia apparentemente molto semplice, che però mi sta creando più problemi di quanto effettivamente dovrebbe.
L'esercizio è il seguente: sia $ X $ uno spazio topologico. Dimostrare che, se $ AA z in X $, $ nn I(z) = {z} rArr {z} $ è chiuso. ( $ I(z) $ indica un intorno di z, sto considerando l'intersezione di tutti i possibili intorni di z).
Il mio ragionamento, evidentemente sbagliato, è stato il seguente.. dimostrare che $ {z} $ è chiuso significa dimostrare che $ X - {z} $ è aperto. Passo ai complementari:
$ nn I(z) = {z} $ sse $ X - {z} = uu (X - I(z)) = X - uu I(z) $. Ma allora $ {z} = uu I(z) $, cioè z è dato da un unione di insiemi aperti, e quindi è aperto. Solo che non è vero
perchè dovrebbe essere chiuso. Quindi ho evidentemente detto una boiata da qualche parte. Dove? Non riesco a vederla..
mi sto scontrando con un problema di topologia apparentemente molto semplice, che però mi sta creando più problemi di quanto effettivamente dovrebbe.
L'esercizio è il seguente: sia $ X $ uno spazio topologico. Dimostrare che, se $ AA z in X $, $ nn I(z) = {z} rArr {z} $ è chiuso. ( $ I(z) $ indica un intorno di z, sto considerando l'intersezione di tutti i possibili intorni di z).
Il mio ragionamento, evidentemente sbagliato, è stato il seguente.. dimostrare che $ {z} $ è chiuso significa dimostrare che $ X - {z} $ è aperto. Passo ai complementari:
$ nn I(z) = {z} $ sse $ X - {z} = uu (X - I(z)) = X - uu I(z) $. Ma allora $ {z} = uu I(z) $, cioè z è dato da un unione di insiemi aperti, e quindi è aperto. Solo che non è vero
perchè dovrebbe essere chiuso. Quindi ho evidentemente detto una boiata da qualche parte. Dove? Non riesco a vederla..
Risposte
"Ogh":Eccola qui:
...Quindi ho evidentemente detto una boiata da qualche parte. Dove? Non riesco a vederla.
"Ogh":
...$ uu (X - I(z)) = X - uu I(z) $...
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