Topologia indotta su un insieme da un atlante massimale
Sia \( S \) un insieme e sia \( \mathscr S \) un atlante massimale. Facciamo che un sottoinsieme \( A\subset S \) è aperto se per ogni \( a\in A \) esiste una carta ammissibile (=una carta di \( S \)) \( (U,\phi) \) tale che \( a\in U\subset A \). Volevo provare che l'insieme degli aperti su \( S \) è una topologia, ma mi sono bloccato.
Dimostrazione. L'insieme \( S \) e l'insieme vuoto sono banalmente aperti. Sia \( {(A_i)}_{i\in I} \) una famiglia di aperti di \( S \). Sia \( a\in \bigcup_{i\in I}A_i \). Allora esiste un carta ammissibile \( (U_i,\phi_i) \) tale che \( a\in U_i\subset A_i \), e quindi tale che \( U_i\subset \bigcup_{i\in I}A_i \). Siano \( A_1,\dots,A_n \) aperti. Dato \( a\in A_1\cap\cdots \cap A_n \) esistono \( n \) carte ammissibili \( (U_1,\phi_1),\dots,(U_n,\phi_n) \) tali che \( a\in U_j\subset A_j \) per \( j = 1,\dots,n \). In teoria, se pongo \( U = U_1\cap\cdots \cap U_n \) e \( \phi \) pari alla restrizione \( \phi{\restriction_{U_1\cap\cdots \cap U_n}^{\phi(U_1\cap\cdots \cap U_n)}}\colon U_1\cap\cdots \cap U_n\to \phi(U_1\cap\cdots \cap U_n) \), e \( \phi(U_1\cap\cdots \cap U_n) \) è un aperto di \( \mathbb R^n \), allora ho finito, perché \( (U,\phi) \) diventa una carta ammissibile con le proprietà richieste. Ma non so (cfr. la discussione precedente) quanto questo sia vero.
Dimostrazione. L'insieme \( S \) e l'insieme vuoto sono banalmente aperti. Sia \( {(A_i)}_{i\in I} \) una famiglia di aperti di \( S \). Sia \( a\in \bigcup_{i\in I}A_i \). Allora esiste un carta ammissibile \( (U_i,\phi_i) \) tale che \( a\in U_i\subset A_i \), e quindi tale che \( U_i\subset \bigcup_{i\in I}A_i \). Siano \( A_1,\dots,A_n \) aperti. Dato \( a\in A_1\cap\cdots \cap A_n \) esistono \( n \) carte ammissibili \( (U_1,\phi_1),\dots,(U_n,\phi_n) \) tali che \( a\in U_j\subset A_j \) per \( j = 1,\dots,n \). In teoria, se pongo \( U = U_1\cap\cdots \cap U_n \) e \( \phi \) pari alla restrizione \( \phi{\restriction_{U_1\cap\cdots \cap U_n}^{\phi(U_1\cap\cdots \cap U_n)}}\colon U_1\cap\cdots \cap U_n\to \phi(U_1\cap\cdots \cap U_n) \), e \( \phi(U_1\cap\cdots \cap U_n) \) è un aperto di \( \mathbb R^n \), allora ho finito, perché \( (U,\phi) \) diventa una carta ammissibile con le proprietà richieste. Ma non so (cfr. la discussione precedente) quanto questo sia vero.
Risposte
Penso di aver risolto. Non è in generale vero che se \( (U,\phi) \) è una carta e \( U^\prime\subset U \) allora \( (U,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}}) \) è una carta (il problema è che \( \phi(U^\prime) \) può non essere aperto), ma è vero che se \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) sono carte ammissibili, allora \( (U_1\cap U_2,\phi_j{\restriction_{U_1\cap U_2}^{\phi_j(U_1\cap U_2)}}) \) sono carte ammissibili, per \( j = 1,2 \). Allora la cosa vale ovviamente anche per \( n \) carte e questo permette di concludere la dimostrazione.
Ora non ho più voglia ma domani cerco di dimostrare che la topologia indotta da \( \mathscr S \) in questo senso è la più fine che contiene tutti gli \( U \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili. Poi cerco di far vedere che tutte le \( \phi \) al variare di \( (U,\phi)\in \mathscr S \) sono omeomorfismi. Ci ho provato ora ma non mi viene.
Ora non ho più voglia ma domani cerco di dimostrare che la topologia indotta da \( \mathscr S \) in questo senso è la più fine che contiene tutti gli \( U \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili. Poi cerco di far vedere che tutte le \( \phi \) al variare di \( (U,\phi)\in \mathscr S \) sono omeomorfismi. Ci ho provato ora ma non mi viene.
"marco2132k":
Non è in generale vero che se \( (U,\phi) \) è una carta e \( U^\prime\subset U \) allora \( (U,\phi{\restriction_{U^\prime}^{\phi(U^\prime)}}) \) è una carta (il problema è che \( \phi(U^\prime) \) può non essere aperto)
In realtà, per definizione di carta, tu sai che $\phi:U\to \phi(U)$ è un omeomorfismo, per cui se $U'\subset U$ è un aperto, allora per forza anche $\phi(U')$ è aperto, poiché, appunto, $\phi$ è omeo e quindi manda aperti in aperti.
[Per un riferimento completo, ti consiglio il libro "Geometria differenziale" di Abate, Tovena. E' fatto davvero molto bene e tratta proprio delle varietà e delle loro strutture]
Comunque, se hai un atlante $\mathcal(A)=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ di dimensione $n$ su una varietà $M$ (cioè localmente $M$ è omeomorfo a $RR^n$), allora tale atlante induce su $M$ la seguente topologia:
$S\subset M$ è aperto se e solo se $\varphi_\alpha(U_\alpha \cap S)$ è aperto in $RR^n$ per ogni carta $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ dell'atlante.
Inoltre, questa è l'unica topologia su $M$ tale per cui tutti gli $U_\alpha$ sono aperti e tutte le $\varphi_\alpha$ sono omeomorfismi con l'immagine (ovvero è l'unica topologia su $M$ che preserva le proprietà delle carte)
Quello che vorrei essere in grado di dimostrare ma che invece non lo sono è la seguente. Se \( \tau \) è la topologia più grezza su \( S \) che ha per aperti tutti gli \( U \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili, allora dato un \( A\subset S \), le affermazioni:
[list=3]
[*:3uoxobib] \( A\in \tau \);[/*:m:3uoxobib]
[*:3uoxobib] per ogni \( a\in A \) esiste una carta ammissibile \( (U,\phi) \) tale che \( a\in U\subset A \);[/*:m:3uoxobib]
[*:3uoxobib] \( \phi(A\cap U) \) è un aperto di \( \mathbb R^n \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili;[/*:m:3uoxobib][/list:o:3uoxobib] sono equivalenti.
Riesco a dimostrare che 1. implica 2. e che 2. implica 3., ma non riesco a far vedere che 3. implica 1.
Sfruttando il punto 3. di questa caratterizzazione si può dimostrare che tutte le \( \phi \) sono omeo (la dimostrazione c'è sull'Abate, che citi). Non riesco invece a dimostrare questo usando solo la 2. o solo la 1.
[list=3]
[*:3uoxobib] \( A\in \tau \);[/*:m:3uoxobib]
[*:3uoxobib] per ogni \( a\in A \) esiste una carta ammissibile \( (U,\phi) \) tale che \( a\in U\subset A \);[/*:m:3uoxobib]
[*:3uoxobib] \( \phi(A\cap U) \) è un aperto di \( \mathbb R^n \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili;[/*:m:3uoxobib][/list:o:3uoxobib] sono equivalenti.
Riesco a dimostrare che 1. implica 2. e che 2. implica 3., ma non riesco a far vedere che 3. implica 1.
Sfruttando il punto 3. di questa caratterizzazione si può dimostrare che tutte le \( \phi \) sono omeo (la dimostrazione c'è sull'Abate, che citi). Non riesco invece a dimostrare questo usando solo la 2. o solo la 1.
"marco2132k":
Quello che vorrei essere in grado di dimostrare ma che invece non lo sono è la seguente. Se \( \tau \) è la topologia più grezza su \( S \) che ha per aperti tutti gli \( U \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili, allora dato un \( A\subset S \), le affermazioni:
[list=3]
[*:1hunpxgh] \( A\in \tau \);[/*:m:1hunpxgh]
[*:1hunpxgh] per ogni \( a\in A \) esiste una carta ammissibile \( (U,\phi) \) tale che \( a\in U\subset A \);[/*:m:1hunpxgh]
[*:1hunpxgh] \( \phi(A\cap U) \) è un aperto di \( \mathbb R^n \) al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili;[/*:m:1hunpxgh][/list:o:1hunpxgh] sono equivalenti.
Riesco a dimostrare che 1. implica 2. e che 2. implica 3., ma non riesco a far vedere che 3. implica 1.
Provo a dimostrare che $3$ implica $1$.
Sappiamo che $\phi(A\cap U)$ è aperto in $\phi(U)$ per ogni carta ammissibile.
Essendo $\phi$ omeomorfismo, ciò significa che $A\cap U$ è aperto in $U$ per ogni $U$.
In particolare, ciò implica che $A\cap U$ è aperto nella varietà per ogni $U$ (poiché è aperto nell'aperto $U$).
Possiamo scrivere poi $A=\bigcup_U (A\cap U)$ al variare di $U$ nell'altlante (cioè faccio l'unione su tutti i domini delle carte dell'atlante).
Preso allora $a\in A$, ho che $a\in \bigcup (A\cap U)$ (perché i domini $U$ delle carte devono ricoprire tutta la varietà) , dunque esisterà un certo $U'$ tale che $a\in (A\cap U')\subset A$, da cui $A$ è aperto secondo la tua definizione poiché $A\cap U'$ è aperto e dunque è dominio della carta $(U',\phi)$ ottenuta restringendo $U'$ a $A\cap U'$.
Nota: la carta $(U',\phi)$ è contenuta nell'atlante poiché per ipotesi questo è massimale, dunque contiene tutte le possibili carte ammissibili
Allora (intanto grazie \( <3 \), e poi) mi sembra che così tu abbia dimostrato che 3. implica 2. Infatti, una volta osservato che tutti gli \( A\cup U \) sono aperti al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte e che \( A = \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr S}A\cap U \), dici che preso un punto \( a\in A \) esiste una carta \( (A\cap U^\prime,\phi^\prime{\restriction_{A\cap U^\prime}^{\phi^\prime(A\cap U)}}) \) tale che \( a\in A\cap U^\prime\subset A \), dove \( (U^\prime,\phi^\prime) \) è la carta che tiri fuori dal fatto che \( a\in \bigcup_{(U,\phi)\in \mathscr S}A\cap U \).
A questo punto abbiamo che 1. implica 2. e 2. sse 3. Rimane ancora da provare che 2. implica 1. Quello che mi viene in mente qui è di dire che, siccome per ogni \( a\in A \) (per \( A \) aperto nel senso 2.) c'è un \( a\in U\subset A \), vale che \( A \) è unione di un po' di \( U \) per un po' di rispettive carte \( (U,\phi) \). In altre parole, ogni \( A \) si scrive come unione di intersezioni finite (unarie!) di \( U \)s, e quindi tutti gli \( A \) appartengono alla topologia generata dagli \( U \), dato che quest'ultima ha per prebase esattamente la famiglia delle intersezioni finte di \( U \)s.
Ultima fissa mia: si può dimostrare che le \( \phi \) sono tutte omeo usando solo 1.?
A questo punto abbiamo che 1. implica 2. e 2. sse 3. Rimane ancora da provare che 2. implica 1. Quello che mi viene in mente qui è di dire che, siccome per ogni \( a\in A \) (per \( A \) aperto nel senso 2.) c'è un \( a\in U\subset A \), vale che \( A \) è unione di un po' di \( U \) per un po' di rispettive carte \( (U,\phi) \). In altre parole, ogni \( A \) si scrive come unione di intersezioni finite (unarie!) di \( U \)s, e quindi tutti gli \( A \) appartengono alla topologia generata dagli \( U \), dato che quest'ultima ha per prebase esattamente la famiglia delle intersezioni finte di \( U \)s.
Ultima fissa mia: si può dimostrare che le \( \phi \) sono tutte omeo usando solo 1.?
"marco2132k":
Allora (intanto grazie \( <3 \), e poi) mi sembra che così tu abbia dimostrato che 3. implica 2.
Oggi sono particolarmente stupido, più degli altri giorni, hai perfettamente ragione.
Ultima fissa mia: si può dimostrare che le \( \phi \) sono tutte omeo usando solo 1.?
[/quote]
Leggendo la dimostrazione dell'Abate, mi pare tu debba per forza richiedere che la topologia $\tau$ sia tale per cui sia gli $U$ sono aperti e sia che $\phi$ siano omeo.
Per lo meno, non mi sembra affatto facile dedurlo solo usando $1$
Mm, forse un'idea potrebbe essere dimostrare che l'insieme degli \( \phi^{-1}(B) \) al variare di \( B\subset \phi(U) \) aperto, al variare di \( (U,\phi) \) tra le carte ammissibili, è una topologia su \( S \), e che ogni altra topologia su \( S \) che ha per aperti tutti gli \( U \) è più fine di questa.
Mi sa che non mi interessa abbastanza per provare a farlo.
EDIT. Ovviamente scherzavo. Sia \( B\subset \phi(U) \) aperto. La coppia di \( \phi^{-1}(B) \) e della restrizione \( \phi{\restriction_{\phi^{-1}(B)}^{B}} \) è una carta ammissibile, e quindi \( \phi^{-1}(B) \) è aperto. Viceversa, se \( A\subset U \) è aperto, \( A \) si scrive come unione \( A = \bigcup_{i\in I}B_i \), dove ciascun \( B_i \) è un'intersezione \( B_i = U_1^i\cap\cdots \cap U_{n_i}^i \) è un'intersezione finita di \( U_j^i \), al variare di \( (U_j^i,\phi_j^i) \) tra le carte ammissibili. Si ha dunque \( {(\phi^{-1})}^{-1}(A) = \bigcup_{i\in I}\phi(B_i) \), dove ciascun \( \phi(B_i) \) è un'intersezione \( \phi(U_1^i)\cap\cdots \cap \phi(U_{n_i}^i) \) di aperti di \( \mathbb R^n \).
Ora, mi fa ridere che Marco e Francesca dicano che "è evidente che le \( \phi_\alpha \) sono degli omeomorfismi", perché loro definiscono la topologia indotta solo come in 3., mentre, ora che mi sono messo e che ho svolto la dimostrazione in gory detail, non mi viene in mente nessun altro modo facile per far vedere che le \( \phi \) sono omeo.
Vabbè, per me la questione può dirsi chiusa.
Mi sa che non mi interessa abbastanza per provare a farlo.
EDIT. Ovviamente scherzavo. Sia \( B\subset \phi(U) \) aperto. La coppia di \( \phi^{-1}(B) \) e della restrizione \( \phi{\restriction_{\phi^{-1}(B)}^{B}} \) è una carta ammissibile, e quindi \( \phi^{-1}(B) \) è aperto. Viceversa, se \( A\subset U \) è aperto, \( A \) si scrive come unione \( A = \bigcup_{i\in I}B_i \), dove ciascun \( B_i \) è un'intersezione \( B_i = U_1^i\cap\cdots \cap U_{n_i}^i \) è un'intersezione finita di \( U_j^i \), al variare di \( (U_j^i,\phi_j^i) \) tra le carte ammissibili. Si ha dunque \( {(\phi^{-1})}^{-1}(A) = \bigcup_{i\in I}\phi(B_i) \), dove ciascun \( \phi(B_i) \) è un'intersezione \( \phi(U_1^i)\cap\cdots \cap \phi(U_{n_i}^i) \) di aperti di \( \mathbb R^n \).
Ora, mi fa ridere che Marco e Francesca dicano che "è evidente che le \( \phi_\alpha \) sono degli omeomorfismi", perché loro definiscono la topologia indotta solo come in 3., mentre, ora che mi sono messo e che ho svolto la dimostrazione in gory detail, non mi viene in mente nessun altro modo facile per far vedere che le \( \phi \) sono omeo.
Vabbè, per me la questione può dirsi chiusa.
Non ti ci impappinare troppo. Queste robe non sono interessanti e non sono utili, almeno non adesso. Concentrati di più sulla geometria differenziale più concreta.
Eh, boh, penso che a nessuno piaccia lavorare con gli atlanti (avessi tutto il tempo del mondo studierei da qui). Comunque non dovrei avercene ancora per molto a quanto vedo.
Se invece per geometria differenziale "concreta" intendi cose tipo questo, voglio vedere la teoria astratta per prima. Anche perché all'università non la vedrò mai.
Se invece per geometria differenziale "concreta" intendi cose tipo questo, voglio vedere la teoria astratta per prima. Anche perché all'università non la vedrò mai.
"marco2132k":
Se invece per geometria differenziale "concreta" intendi cose tipo questo,
Si, per esempio si, quello è un bel libro. Ma non è esattamente questo il punto. Provo a formulare ciò che penso qui sotto.
Il mio pensiero è questo. Ho passato molto tempo da studente sugli atlanti in geometria differenziale, sulle topologie deboli in analisi funzionale, etc... E quando sono andato a fare ricerca mi sono accorto che queste nozioni, pur se importanti, non erano quello che mi serviva.
Naturalmente dipende dal tipo di ricerca che si fa. Ma per qualunque tipo, è importante sapersi approcciare a *un problema*, non solo sapere contemplare teorie già costruite.
Quindi io non ti dico: studia questo piuttosto che quello. Tu studi secondo il tuo criterio e non sarò certo io a farti cambiare idea. Da studente io ero molto ribelle rispetto a questi consigli degli anziani, e penso ancora che sia una cosa positiva, l'indipendenza di pensiero. No: io ti dico, non stare solo ad osservare definizioni, cerca i problemi.
Sembra spesso anche a me di non applicare abbastanza quello che studio. A volte mi rispondo che prima di arrivare a delle applicazioni rilevanti c'è da studiare molto, ma forse non è il miglior modo di fare.
[*] Leggi: prima di arrivare a formulare dei problemi concreti in un linguaggio sufficientemente comprensibile (e, soprattutto, facile da utilizzare).
[*] Leggi: prima di arrivare a formulare dei problemi concreti in un linguaggio sufficientemente comprensibile (e, soprattutto, facile da utilizzare).
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo