Topologia Indotta da uno Spazio Metrico
Buongiorno, scusate se pongo un altra domanda di Topologia ma il testo a cui faccio riferimento (non essendo un testo di Topologia) non riporta alcuna dimostrazione a riguardo. Dovrei dimostrare che la topologia indotta da uno spazio metrico è effettivamente una topologia ,più precisamente devo far vedere che essa è chiusa rispetto all'intersezione finita fra i suoi elementi. Supponiamo quindi che la coppia ordinata $ X d $ sia uno spazio metrico allora è detta essere la topologia metrica indotta da $ d $ su $ X $ l'insieme i cui elementi sono l'insieme vuoto e le unioni arbitarie di palle metriche relative a $ X d $. Supponiamo quindi di avere n (naturale diverso da 0 ed 1) elementi della nostra topologia indotta(per fissare le idee supponiamo che ognuno di questi elementi non sia l'insieme vuoto) ,come faccio a dimostrare che la loro intersezione appartiene anch'essa alla topologia indotta ossia è unione arbitraria di palle metriche relative allo spazio metrico in questione ? Grazie.
Risposte
Intanto puoi limitarti all'intersezione di due insiemi, il passaggio a $n$ segue per induzione (ma in realtà nella dimostrozione che ho in mente io non cambia quasi niente). La definizione (equivalente) che si dà di solito, e che secondo me è più comoda da maneggiare, è: un sottoinsieme $A$ di $X$ si dice aperto se ogni suo punto è centro di una palla interamente contenuta in $A$. Prova a dimostrarla con questa. Poi (o prima) puoi anche divertirti a dimostrare l'equivalenza delle due definizioni.
Grazie per la risposta ma ho qualche difficoltà a seguire il tuo discorso: se $ X A $ è uno spazio topologico e $ B sub X $ è facile dimostrare che se per ogni $ p $ in $ B $ esiste un intorno $ C $ di $ p $ relativo a $ X A $ tale che $ C sub B $ allora $ B $ è un aperto relativo a $ X A $. Il fatto è che questo risultato lo posso applicare qualora già sia a conoscenza che $ X A $ sia uno spazio topologico cosa che invece nella fattispecie è ciò che devo dimostrare: ho trovato una dimostrazione alternativa che però non riporto visti i miei notevoli limiti nell'usare il linguaggio delle formule.Ciao.
Ti scrivo quello che intendevo.
Equivalenza delle due definizioni di sottoinsieme aperto:
1) Se $A$ è unione di palle e $x inA$, allora abbiamo $x inB(y,r)subA$ per qualche $yinA$ e $rinRR$. Allora se $d=min(d(x,y), r-d(x,y))$, $B(x,d)$ è contenuta in $B(y,r)$ per disuguaglianza triangolare e quindi anche in $A$.
2) Se ogni $x$ in $A$ è centro di una palla contenuta in $A$, allora $A$ è unione di queste palle.
Dimostrazione del fatto:
Siano $A$ e $B$ aperti di $X$ e mostriamo che $AnnB$ è aperto. Se $x inAnnB$, esistono due palle $B(x,r)subA$ e $B(x,s)subB$. Sia $d=min(r,s)$. Allora $B(x,d)subAnnB$.
Equivalenza delle due definizioni di sottoinsieme aperto:
1) Se $A$ è unione di palle e $x inA$, allora abbiamo $x inB(y,r)subA$ per qualche $yinA$ e $rinRR$. Allora se $d=min(d(x,y), r-d(x,y))$, $B(x,d)$ è contenuta in $B(y,r)$ per disuguaglianza triangolare e quindi anche in $A$.
2) Se ogni $x$ in $A$ è centro di una palla contenuta in $A$, allora $A$ è unione di queste palle.
Dimostrazione del fatto:
Siano $A$ e $B$ aperti di $X$ e mostriamo che $AnnB$ è aperto. Se $x inAnnB$, esistono due palle $B(x,r)subA$ e $B(x,s)subB$. Sia $d=min(r,s)$. Allora $B(x,d)subAnnB$.
Allora, le proprietà di una topologia (collezione degli aperti) su un insieme sono 3:
A1 X e ∅ appartengono alla topologia
A2 l' unione arbitraria di elementi della topologia è ancora un elemento della topologia
A3 intersezione di due elementi della topologia è ancora un elemento della topologia
Ora tu sai che una metrica su un insieme X induce sempre una topologia, quindi uno spazio metrico (X,d) è in particolare uno spazio topologico.
Ora tu sai anche che ogni topologia ha una base, cioè una sottocollezione della topologia che soddifa due proprietà:
B1 X è l'unione degli elementi della base
B1 per ogni A e B della base, e per ogni punto x ∈ A ∩ B, esite C elemento della base tale che x ∈ C ⊂ A ∩ B
Una base determina univocamente una topologia: gli aperti della topologia sono tutti e soli gli insiemi ottenibili come unione (arbitraria) di elementi della base.
Se hai ancora dubbi non esitare a chiedere.
A1 X e ∅ appartengono alla topologia
A2 l' unione arbitraria di elementi della topologia è ancora un elemento della topologia
A3 intersezione di due elementi della topologia è ancora un elemento della topologia
Ora tu sai che una metrica su un insieme X induce sempre una topologia, quindi uno spazio metrico (X,d) è in particolare uno spazio topologico.
Ora tu sai anche che ogni topologia ha una base, cioè una sottocollezione della topologia che soddifa due proprietà:
B1 X è l'unione degli elementi della base
B1 per ogni A e B della base, e per ogni punto x ∈ A ∩ B, esite C elemento della base tale che x ∈ C ⊂ A ∩ B
Una base determina univocamente una topologia: gli aperti della topologia sono tutti e soli gli insiemi ottenibili come unione (arbitraria) di elementi della base.
Se hai ancora dubbi non esitare a chiedere.
Per completezza riporto la dimostrazione (piuttosto articolata) che ho ricavato : il punto di partenza è il nostro spazio metrico $X d$ , sia $ T= { uuu_{b in Z} I_{b} $ tale che $ Z $ è un insieme che non sia $ emptyset $ e $AA b$ $in$ $ Z$ $I_b $ è una palla metrica relativa a $ X d$ $}$ $uuu$ $ { emptyset } $. Supponiamo che $ n $ $in $ $ NN $$/$ ${0,1}$ e che $AA i$ $in$${1,...,n}$ $Di$ $in$ $T$ ,vogliamo far vedere che $\nnn_{i=1}^n D_{i}$ $ in T $ . Per fissare le idee supponiamo che $AA i$ $in$${1,...,n}$ $ D_{i} $ $!=$ $emptyset$ allora per gli stessi $i$ risulta che $D_{i}$ $=$ $uuu_{b in Z_{i}} I_{i,b} $.Se $\nnn_{i=1}^n D_{i} = emptyset$ la tesi è banale ,diversamente $AA p$ $in nnn_{i=1}^n D_{i}$ risulta che $AA i$ $in$${1,...,n}$ $EE$ $ h_{i,p} in Z_{i}$ tale che $p in I_{i,h_{i,p}}$ . Dunque supponiamo ora che $AA p$ $in nnn_{i=1}^n D_{i}$ e $AA i$ $in$${1,...,n}$ $ I_{i,h_{i,p}}$ sia la palla metrica di centro $s_{i,p}$ e raggio $ r_{i,p}$ allora $AA p$ $in nnn_{i=1}^n D_{i}$ e $AA i$ $in$${1,...,n}$ tale che $p= s_{i,p} $ poniamo $j_{i,p} = r_{i,p}$ ,invece $AA i$ $in$${1,...,n}$ tale che $p!= s_{i,p} $ poniamo $j_{i,p} = min {r_{i,p}-d ( p,s_{i,p}), d ( p,s_{i,p})}$.Allora $AA p in nnn_{i=1}^n D_{i}$ sia $v_{p}=min{j_{1,p} ,..., j_{n,p}} $ e sia $L_{p}$ la palla metrica di centro $p$ e raggio $v_{p}$ allora si ha la tesi osservando che $ nnn_{i=1}^n D_{i} =$ $ uuu_{p in nn_{i=1}^n D_{i}} L_{p}$
Che casino (soprattutto a causa delle notazioni necessarie)! Non ti sembra meglio quella del mio post? Probabilmente concettualmente è identica, ma si segue molto meglio!
In effetti pare anche a me che le due dimostrazioni siano sostanzialmente le stesse,cambia solo il formalismo notazionale :il preferire l'una all'altra è una questione di forma mentis.In ogni caso grazie per la cordialità e la preparazione con cui hai risposto.Buona giornata.
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