Topologia indotta da una metrica
Ciao a tutti, ho un dubbio sulla definizione di topologia indotta da una metrica.
Sul Sernesi c'è scritto che la topologia indotta da una metrica si ottiene prendendo come insiemi aperti tutti quelli che si scrivono come unione di dischi aperti con in più l'insieme vuoto (con disco aperto si intende un insieme del tipo \( D_r (x) = \lbrace y \in X : d(x,y) < r \rbrace \)).
Qui invece (pagina 3, definizione 1.3) la topologia indotta dalla metrica è quella che prende insiemi i cui elementi sono tutti all'interno di un disco aperto interamente contenuto nell'insieme stesso.
Io non ho capito se le topologie che ho descritto sono le stesse o meno.
Il problema nasce perché la topologia euclidea è definita come la topologia indotta dalla metrica euclidea, quindi se le due topologie che ho descritto sono diverse ottengo due diverse topologie euclidee, assurdo.
Chi mi sa aiutare?
Sul Sernesi c'è scritto che la topologia indotta da una metrica si ottiene prendendo come insiemi aperti tutti quelli che si scrivono come unione di dischi aperti con in più l'insieme vuoto (con disco aperto si intende un insieme del tipo \( D_r (x) = \lbrace y \in X : d(x,y) < r \rbrace \)).
Qui invece (pagina 3, definizione 1.3) la topologia indotta dalla metrica è quella che prende insiemi i cui elementi sono tutti all'interno di un disco aperto interamente contenuto nell'insieme stesso.
Io non ho capito se le topologie che ho descritto sono le stesse o meno.
Il problema nasce perché la topologia euclidea è definita come la topologia indotta dalla metrica euclidea, quindi se le due topologie che ho descritto sono diverse ottengo due diverse topologie euclidee, assurdo.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Le due definizioni sono equivalenti.
Prendi un aperto $A$ nel senso di sernesi (non vuoto). Vogliamo mostrare che è aperto nel senso delle dispense di saracco, quindi per ogni punto $p \in A$, vogliamo trovare una palletta centrata in $p$ interamente contenuta in $A$. Dal momento che $A$ è aperto secondo sernesi, $A$ è unione di pallette, perciò $p$ è contenuto in una palletta $B_r(q)$ per qualche $q \in A$ e qualche $r >0$. Giocando un po' con le diseguaglianze si trova un $\epsilon$ tale che $B_{\epsilon}(p) \subseteq B_r(q)$, e quindi, per l'arbitrarietà di $p$, $A$ soddisfa la definizione di aperto secondo le dispense di saracco.
Viceversa, se $A$ è aperto secondo le dispense, è facile vedere che $A$ è unione di pallette (basta prendere tutte le pallette che soddisfano la definizione per ogni punto di $A$).
Prendi un aperto $A$ nel senso di sernesi (non vuoto). Vogliamo mostrare che è aperto nel senso delle dispense di saracco, quindi per ogni punto $p \in A$, vogliamo trovare una palletta centrata in $p$ interamente contenuta in $A$. Dal momento che $A$ è aperto secondo sernesi, $A$ è unione di pallette, perciò $p$ è contenuto in una palletta $B_r(q)$ per qualche $q \in A$ e qualche $r >0$. Giocando un po' con le diseguaglianze si trova un $\epsilon$ tale che $B_{\epsilon}(p) \subseteq B_r(q)$, e quindi, per l'arbitrarietà di $p$, $A$ soddisfa la definizione di aperto secondo le dispense di saracco.
Viceversa, se $A$ è aperto secondo le dispense, è facile vedere che $A$ è unione di pallette (basta prendere tutte le pallette che soddisfano la definizione per ogni punto di $A$).
Perfetto, grazie.
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