Topologia Indotta

[Chin1]

Sia S un sottoinsieme di X, dimostrare che $ i : S-> X $ è continua, dimostrare inoltre che la Topologia Indotta da X è la piü debole ( con il minor numero di aperti) tra quelle per cui $i: S->X $ risulti continua.
Supponiamo ora che S sia dotato di una Topologia tale per cui dato un qualsiasi Y si ha che $ f: Y->S $ è continua se e solo se $ i o f : Y->X$ è continua
Dimostrare che S è dotato della Topologia Indotta da X

Sono un po in alto mare.......

[vict85]

Prova a pensare quali sono gli aperti di X la cui controimmagine in S deve essere aperta... la soluzione sta semplicemente in quello...

[Chin1]

Mi dispiace ma non riesco a capire quali aperti considerare.........

[rubik2]

prendi un aperto qualunque di X fai la controimmagine e questa deve essere un aperto di S affinchè i sia continua, prendendo solo aperti di questo tipo (come sono fatti?) hai la topologia minima che rende i continua

[Chin1]

Ok è vero....
Per la seconda parte è giusto dire che:
Dato che $ i°f: Y->X $ è continua allora $ f^-1 (U) $ deve essere aperto in Y ; la continuità di $ i°f $ assicura che anche $ f: Y->S $ sia continua, il che implica che preso un aperto in S la sua controimmagine deve essere aperta in Y , ma anche che $ f^-1 ( i^-1 (U) )$ sia aperta in Y da cui abbiamo che su S possiamo Indurre la Topologia da X in modo che le condizioni delle ipotesi siano verificate.

C' è qualcuno dotato di buona volontà che potrebbe scrivermi una soluzione completa del problema (anche per avere un modello su come si scrive una soluzione in maniera decente......)

Grazie a tutti dell' aiuto.