..topologia: gruppi fondamentali e omotopie.
ciao a tutti
avrei bisogno di alcuni chiarimenti:
1)come si può dimostrare che un nastro di mobius è omotopicamente equivalente a $\mathbb{S}^1$?
2)come faccio a calcolare il grado di queste applicazioni da $S^1 -> S^1$:
- un'applicazione senza punti fissi
- l'applicazione $f(z)= e^{(\frac{\pi i}{4}) }z$
3)com'è il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,0))$ ?
e il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,2))$ ?
4) può esistere un omeomorfismo da $RR^2 \backslash \mathbb{S}^1$ in se stesso che scambi le sue componenti connesse?
..qualunque tipo di suggerimento è ben accetto!grazie mille!
avrei bisogno di alcuni chiarimenti:
1)come si può dimostrare che un nastro di mobius è omotopicamente equivalente a $\mathbb{S}^1$?
2)come faccio a calcolare il grado di queste applicazioni da $S^1 -> S^1$:
- un'applicazione senza punti fissi
- l'applicazione $f(z)= e^{(\frac{\pi i}{4}) }z$
3)com'è il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,0))$ ?
e il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,2))$ ?
4) può esistere un omeomorfismo da $RR^2 \backslash \mathbb{S}^1$ in se stesso che scambi le sue componenti connesse?
..qualunque tipo di suggerimento è ben accetto!grazie mille!
Risposte
Ciao "cirasa", mi è venuto un dubbio.....nell'esercizio
perchè prendi solo il disco? $RR^2\setminusS^1$ non è tutto $RR^2$ tolta solo la circonferenza unitaria? quindi dovrebbe rimanere il disco aperto, ma anche la parte di $RR^2$ "oltre" la circonferenza unitaria, no?
...e perchè dici che il suo gruppo fondamentale è $1$?
(scusa ma sono arrugginito
)
"cirasa":
Dato uno spazio topologico $X$, il gruppo fondamentale di un punto $x_0$ dipende solo dalla componente connessa per archi di $x_0$ in $X$.
Quindi si ha che $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))=\pi_1(D,(0,0))$ dove $D$ è il disco aperto di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Quindi $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))={1}$.
perchè prendi solo il disco? $RR^2\setminusS^1$ non è tutto $RR^2$ tolta solo la circonferenza unitaria? quindi dovrebbe rimanere il disco aperto, ma anche la parte di $RR^2$ "oltre" la circonferenza unitaria, no?
...e perchè dici che il suo gruppo fondamentale è $1$?
(scusa ma sono arrugginito
)
Sì, ma la parte fuori dalla circonferenza non fa parte della stessa componente connessa per archi.
Io mi sono limitato a calcolare il gruppo fondamentale del disco perchè appunto è la componente connessa per archi di $(0,0)$. E il gruppo fondamentale del disco è banale perchè è semplicemente connesso.
E dopo mi limito a considerare la componente connessa per archi di $(0,2)$ ovvero la parte "fuori" dalla circonferenza.
E' giusto quello che dico? Per favore, dammi una conferma, perchè non vorrei aver detto bestialità, visto che queste cose le ho studiate da solo e non vorrei aver preso fischi per fiaschi.
Io mi sono limitato a calcolare il gruppo fondamentale del disco perchè appunto è la componente connessa per archi di $(0,0)$. E il gruppo fondamentale del disco è banale perchè è semplicemente connesso.
E dopo mi limito a considerare la componente connessa per archi di $(0,2)$ ovvero la parte "fuori" dalla circonferenza.
E' giusto quello che dico? Per favore, dammi una conferma, perchè non vorrei aver detto bestialità, visto che queste cose le ho studiate da solo e non vorrei aver preso fischi per fiaschi.
Ah, ok consideri solo la componente connessa per archi del punto.....hai ragione!
Ah meno male, pensavo di aver detto qualche cavolata! 
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