..topologia: gruppi fondamentali e omotopie.
ciao a tutti
avrei bisogno di alcuni chiarimenti:
1)come si può dimostrare che un nastro di mobius è omotopicamente equivalente a $\mathbb{S}^1$?
2)come faccio a calcolare il grado di queste applicazioni da $S^1 -> S^1$:
- un'applicazione senza punti fissi
- l'applicazione $f(z)= e^{(\frac{\pi i}{4}) }z$
3)com'è il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,0))$ ?
e il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,2))$ ?
4) può esistere un omeomorfismo da $RR^2 \backslash \mathbb{S}^1$ in se stesso che scambi le sue componenti connesse?
..qualunque tipo di suggerimento è ben accetto!grazie mille!
avrei bisogno di alcuni chiarimenti:
1)come si può dimostrare che un nastro di mobius è omotopicamente equivalente a $\mathbb{S}^1$?
2)come faccio a calcolare il grado di queste applicazioni da $S^1 -> S^1$:
- un'applicazione senza punti fissi
- l'applicazione $f(z)= e^{(\frac{\pi i}{4}) }z$
3)com'è il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,0))$ ?
e il gruppo fondamentale $\pi_1(RR^2 \backslash \mathbb{S}^1,(0,2))$ ?
4) può esistere un omeomorfismo da $RR^2 \backslash \mathbb{S}^1$ in se stesso che scambi le sue componenti connesse?
..qualunque tipo di suggerimento è ben accetto!grazie mille!
Risposte
Posso aiutarti su 1).
Puoi dimostrare che sul nastro di Mobius c'è una circonferenza $C$ che è un retratto forte di deformazione del nastro.
Considera il nastro $M$ come lo spazio topologico $X=[0,1]\times[0,1]$ quozientato con la relazione di equivalenza $R$ definita da
$(x,y)\ R\ (x_1,y_1)\ \ Leftrightarrow\ \ {x,x_1}={0,1}\ e\ y_1=1-y$
Considera il sottospazio $C={[(x,y)]\in M: \ y=1/2}$. Prova che $C$ è omeomorfa ad $S^1$ e che $C$ è un retratto di deformazione di $M$.
Se vuoi ulteriori dettagli, dimmelo.
Ciao
Puoi dimostrare che sul nastro di Mobius c'è una circonferenza $C$ che è un retratto forte di deformazione del nastro.
Considera il nastro $M$ come lo spazio topologico $X=[0,1]\times[0,1]$ quozientato con la relazione di equivalenza $R$ definita da
$(x,y)\ R\ (x_1,y_1)\ \ Leftrightarrow\ \ {x,x_1}={0,1}\ e\ y_1=1-y$
Considera il sottospazio $C={[(x,y)]\in M: \ y=1/2}$. Prova che $C$ è omeomorfa ad $S^1$ e che $C$ è un retratto di deformazione di $M$.
Se vuoi ulteriori dettagli, dimmelo.
Ciao
scusa l'insistenza ma mi puoi definire i dettagli? 
grazie mille!
grazie mille!
Il nastro di Mobius $M$ è lo spazio topologico quoziente di $X=[0,1]\times[0,1]$ rispetto alla relazione $R$ definita sopra. Geometricamente immagino che tu sappia cosa significa.
Per ogni $(x,y)\in X$ denoto con $[(x,y)]\in M$ la clasee di equivalenza di $(x,y)$.
La circonferenza $C$ è quella definita sopra.
Sia $i:C\to M$ l'inclusione.
Pongo $r:M\to C$ tale che $r([(x,y)])=[(x,1/2)]$ (è continua). Ovviamente $r\circ i$ è l'identità su $C$. Inoltre, $i\circ r$ è omotopa all'identità di $M$ relativamente a ${0,1}$ (sto usando le definizioni del Sernesi 2). L'omotopia è $F:M\times[0,1]\to M$ tale che
$F([(x,y)],t)=[(x,t(x-1/2)+1/2)]$
Quindi $M$ e $C$ sono omotopicamente equivalenti.
Infine ti basta provare che $C$ è omeomorfa alla circonferenza $S^1$. A questo proposito ti lascio pensare un po'. Per darti un aiuto, ti posto il classico disegno del nastro di Mobius con evidenziata la circonferenza $C$.
Ciao!
Per ogni $(x,y)\in X$ denoto con $[(x,y)]\in M$ la clasee di equivalenza di $(x,y)$.
La circonferenza $C$ è quella definita sopra.
Sia $i:C\to M$ l'inclusione.
Pongo $r:M\to C$ tale che $r([(x,y)])=[(x,1/2)]$ (è continua). Ovviamente $r\circ i$ è l'identità su $C$. Inoltre, $i\circ r$ è omotopa all'identità di $M$ relativamente a ${0,1}$ (sto usando le definizioni del Sernesi 2). L'omotopia è $F:M\times[0,1]\to M$ tale che
$F([(x,y)],t)=[(x,t(x-1/2)+1/2)]$
Quindi $M$ e $C$ sono omotopicamente equivalenti.
Infine ti basta provare che $C$ è omeomorfa alla circonferenza $S^1$. A questo proposito ti lascio pensare un po'. Per darti un aiuto, ti posto il classico disegno del nastro di Mobius con evidenziata la circonferenza $C$.
Ciao!
Una proposta di risoluzione dell'esercizio 3):
Dato uno spazio topologico $X$, il gruppo fondamentale di un punto $x_0$ dipende solo dalla componente connessa per archi di $x_0$ in $X$.
Quindi si ha che $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))=\pi_1(D,(0,0))$ dove $D$ è il disco aperto di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Quindi $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))={1}$.
In modo analogo $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,2))=.......$.
Che ne dici?
Dato uno spazio topologico $X$, il gruppo fondamentale di un punto $x_0$ dipende solo dalla componente connessa per archi di $x_0$ in $X$.
Quindi si ha che $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))=\pi_1(D,(0,0))$ dove $D$ è il disco aperto di centro $(0,0)$ e raggio $1$.
Quindi $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,0))={1}$.
In modo analogo $\pi_1(RR^2\setminus S^1,(0,2))=.......$.
Che ne dici?
"cirasa":
Il nastro di Mobius $M$ è lo spazio topologico quoziente di $X=[0,1]\times[0,1]$ rispetto alla relazione $R$ definita sopra. Geometricamente immagino che tu sappia cosa significa.
Saresti gentile da spiegarmelo?
Si tratta di un argomento abbastanza classico.
Quando hai uno spazio topologico $X$ e una relazione di equivalenza su $X$ puoi considerare lo spazio topologico quoziente. Quindi identifichi gli elementi di $X$ che sono in relazione fra loro.
Se $X=[0,1]\times[0,1]$, la relazione che ho considerato prima identifica i lati verticali del quadrato come in figura
Praticamente sto prendendo il quadrato e sto incollando le frecce rispettando il loro verso, fino ad ottenere il nastro di Mobius come superficie in $RR^3$.
Quando hai uno spazio topologico $X$ e una relazione di equivalenza su $X$ puoi considerare lo spazio topologico quoziente. Quindi identifichi gli elementi di $X$ che sono in relazione fra loro.
Se $X=[0,1]\times[0,1]$, la relazione che ho considerato prima identifica i lati verticali del quadrato come in figura
Praticamente sto prendendo il quadrato e sto incollando le frecce rispettando il loro verso, fino ad ottenere il nastro di Mobius come superficie in $RR^3$.
Scusa la mia stupidità, ma non capisco!
Chiedi pure, cosa ti turba? Forse come è definita la relazione di equivalenza?
Si, un po' tutto. non sono una studentessa, ma una semplice appassionata quindi la cosa è ardua per me!
riusciresti a chiarirmi un po le idee,
-su cosa si intende per topologia quoziente (a parole semplici non con formalismi che mi risultano incomprensibili)?
-perchè definisci $C$ come $C=([x y] \in M:y=1/2)$? perchè $y=1/2$? non potevi definirla come una semplice circonferenza?
-cosa si intende con $X=[0,1]X[0,1]$?
-ed infine la relazione di equivalenza non mi è chiara!
scusami, ma purtroppo sono quasi a zero, riusciresti (terra-terra) a farmi capire tutto ciò?
Te ne sarei infinitamente grata!
riusciresti a chiarirmi un po le idee,
-su cosa si intende per topologia quoziente (a parole semplici non con formalismi che mi risultano incomprensibili)?
-perchè definisci $C$ come $C=([x y] \in M:y=1/2)$? perchè $y=1/2$? non potevi definirla come una semplice circonferenza?
-cosa si intende con $X=[0,1]X[0,1]$?
-ed infine la relazione di equivalenza non mi è chiara!
scusami, ma purtroppo sono quasi a zero, riusciresti (terra-terra) a farmi capire tutto ciò?
Te ne sarei infinitamente grata!
In questi post, niente formalismo, solo idee.
Come forse saprai, la topologia studia tutte le proprietà di particolari oggetti (detti spazi topologici) che restano invariate se questi oggetti sono soggetti a deformazioni continue (cioè senza strappi).
La proprietà di un oggetto di "avere i buchi" si esprime con il concetto di gruppo fondamentale.
Per formalizzare il fatto di "avere i buchi" (sai che i matematici sono sempre così precisi) si è pensato alla seguente idea: immagina di muoverti sull'oggetto. Hai a disposizione una corda lunga. Fissi un estremo della corda su un punto e inizi a passeggiare sullo spazio srotolando via via la corda. Alla fine della passeggiata torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda. E' possibile riprenderla tutta?
Ti faccio un esempio. Sei sulla superficie terrestre (il nostro spazio topologico). Parti da Pisa. Leghi un estremo della corda alla torre pendente e vai a farti una passeggiata in giro per il modo srotolando la corda. Alla fine del tuo viaggio torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda. La corda tornerà indietro (magari dai un po' di corda, perchè la corda si è incastrata attorno ad una montagna).
Immagina ora di essere su un mondo a forma di ciambella con il buco (detto toro, il nostro spazio topologico) e fare una cosa simile. Fissi un estremo e fai un giro per il mondo. Quando torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda e ti accorgi che...sei entrata nel buco e non riesci più a tirare indietro la corda!
Studiare il gruppo fondamentale rispetto ad un punto significa in soldoni capire tutti i modi in cui i lacci costruiti come sopra possono incasinarsi (al variare della passeggiata che faccio).
continuo...
Come forse saprai, la topologia studia tutte le proprietà di particolari oggetti (detti spazi topologici) che restano invariate se questi oggetti sono soggetti a deformazioni continue (cioè senza strappi).
La proprietà di un oggetto di "avere i buchi" si esprime con il concetto di gruppo fondamentale.
Per formalizzare il fatto di "avere i buchi" (sai che i matematici sono sempre così precisi) si è pensato alla seguente idea: immagina di muoverti sull'oggetto. Hai a disposizione una corda lunga. Fissi un estremo della corda su un punto e inizi a passeggiare sullo spazio srotolando via via la corda. Alla fine della passeggiata torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda. E' possibile riprenderla tutta?
Ti faccio un esempio. Sei sulla superficie terrestre (il nostro spazio topologico). Parti da Pisa. Leghi un estremo della corda alla torre pendente e vai a farti una passeggiata in giro per il modo srotolando la corda. Alla fine del tuo viaggio torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda. La corda tornerà indietro (magari dai un po' di corda, perchè la corda si è incastrata attorno ad una montagna).
Immagina ora di essere su un mondo a forma di ciambella con il buco (detto toro, il nostro spazio topologico) e fare una cosa simile. Fissi un estremo e fai un giro per il mondo. Quando torni al punto di partenza e provi a riarrotolare la corda e ti accorgi che...sei entrata nel buco e non riesci più a tirare indietro la corda!
Studiare il gruppo fondamentale rispetto ad un punto significa in soldoni capire tutti i modi in cui i lacci costruiti come sopra possono incasinarsi (al variare della passeggiata che faccio).
continuo...
Bene, ora, per far vedere che il nastro di Mobius e la circonferenza si comportano allo stesso modo rispetto alla proprietà di "avere buchi" ho fatto vedere che il nastro di Mobius può essere deformato con continuità fino a diventare quel sottoinsieme $C$ definito in precedenza (quello in rosso) nella figura.
E questo credo sia facilmente intuibile guardando il disegno.
Infine deformo $C$ fino a farlo diventare una bella circonferenza liscia descritta dall'equazione $x^2+y^2=1$ nel piano. (Infatti ho detto che bisognava cercare un omeomorfismo fra $C$ e la circonferenza). E così ottengo che la circonferenza e il nastro si comportano allo stesso modo, perchè questa proprietà si conserva con la deformazione.
Ora veniamo al nastro di Mobius in particolare. Vediamo come possiamo definirlo formalmente. $X=[0,1]\times[0,1]$ è il quadrato di lato $1$ sul piano cartesiano.
La relazione di equivalenza è definita così:
Per me i punti che sono sulla freccia a sinistra corrispondono a quelli sulla freccia a destra sul quadrato (faccio riferimento al quadrato postato in precedenza). Immagina un ipotetico essere che vive su questa superficie che cammina sul quadrato e, arrivato sul lato a destra, si ritrova magicamente sul punto corrispondente del lato a sinistra.
Questo significa topologia quoziente: identifico i punti che sono in relazione fra loro. Sono la stessa cosa!
Questa identificazione corrisponde proprio a incollare materialmente i due lati del quadrato fino a far sovrapporre le due frecce. Ora puoi anche farlo con un foglio di carta (prova con un rettangolo lungo al posto di un quadrato così è più facile). Se sovrapponi i due lati corti del rettangolo ruotando uno dei due, ottieni proprio il nastro di Mobius!
E questo credo sia facilmente intuibile guardando il disegno.
Infine deformo $C$ fino a farlo diventare una bella circonferenza liscia descritta dall'equazione $x^2+y^2=1$ nel piano. (Infatti ho detto che bisognava cercare un omeomorfismo fra $C$ e la circonferenza). E così ottengo che la circonferenza e il nastro si comportano allo stesso modo, perchè questa proprietà si conserva con la deformazione.
Ora veniamo al nastro di Mobius in particolare. Vediamo come possiamo definirlo formalmente. $X=[0,1]\times[0,1]$ è il quadrato di lato $1$ sul piano cartesiano.
La relazione di equivalenza è definita così:
Per me i punti che sono sulla freccia a sinistra corrispondono a quelli sulla freccia a destra sul quadrato (faccio riferimento al quadrato postato in precedenza). Immagina un ipotetico essere che vive su questa superficie che cammina sul quadrato e, arrivato sul lato a destra, si ritrova magicamente sul punto corrispondente del lato a sinistra.
Questo significa topologia quoziente: identifico i punti che sono in relazione fra loro. Sono la stessa cosa!
Questa identificazione corrisponde proprio a incollare materialmente i due lati del quadrato fino a far sovrapporre le due frecce. Ora puoi anche farlo con un foglio di carta (prova con un rettangolo lungo al posto di un quadrato così è più facile). Se sovrapponi i due lati corti del rettangolo ruotando uno dei due, ottieni proprio il nastro di Mobius!
E' vero! sei un\a grande! grazie mille per la chiarissima spiegazione!
Ancora una questione però: perchè definisci in quel modo $C$, ossia come $C=([x y]\inM:y=1/2)$? non capisco come possa essere un circonferenza!
PS: ho scritto "un\a" perchè non so se sei un lui o una lei
Ancora una questione però: perchè definisci in quel modo $C$, ossia come $C=([x y]\inM:y=1/2)$? non capisco come possa essere un circonferenza!
PS: ho scritto "un\a" perchè non so se sei un lui o una lei
L'idea è "deformare" il quadrato iniziale $X$ nel segmento orizzontale che divide il quadrato in due, formato dai punti $(x,y)$, con $y=1/2$. Tieni conto però che immaginando di camminare su questo segmento, una volta arrivati all'estremo di destra, giungo magicamente a quello di sinistra. Praticamente sto camminando in circolo...
Quando deformi il quadrato facendo sovrapporre le due frecce, il segmento è diventato una curva chiusa. Questa curva chiusa (che è appunto l'insieme $C$) non è una vera e propria circonferenza, ma può essere deformata in una circonferenza! In linguaggio matematico, si dice che $C$ è omeomorfa alla circonferenza, cioè dal punto di vista topologico $C$ e la circonferenza sono la stessa cosa.
P.S. Grazie per il complimento
Il mio scopo era incuriosirti sull'argomento, spero di esserci riuscitO (sono un "lui" 
)
Quando deformi il quadrato facendo sovrapporre le due frecce, il segmento è diventato una curva chiusa. Questa curva chiusa (che è appunto l'insieme $C$) non è una vera e propria circonferenza, ma può essere deformata in una circonferenza! In linguaggio matematico, si dice che $C$ è omeomorfa alla circonferenza, cioè dal punto di vista topologico $C$ e la circonferenza sono la stessa cosa.
P.S. Grazie per il complimento
Il mio scopo era incuriosirti sull'argomento, spero di esserci riuscitO (sono un "lui" )
Si, ci sei proprio riuscito! grazie ancora!
scusa, un'altra cosa. tu dici:
per $t=0$ ok abbiamo $C$, ma per $t=1$ abbiamo $[(x,x)]$, perchè dici che $(x,x)$ è $M$?
non è più corretto:$F([(x,y)],t)=[(x,t(y-1/2)+1/2)]$ in modo che per $t=1$ ottieni $[(x,y)]$, dove con $[(x,y)]$ hai denotato la classe di equivalenza?
"cirasa":
L'omotopia è $F:M\times[0,1]\to M$ tale che
$F([(x,y)],t)=[(x,t(x-1/2)+1/2)]$
Quindi $M$ e $C$ sono omotopicamente equivalenti.
per $t=0$ ok abbiamo $C$, ma per $t=1$ abbiamo $[(x,x)]$, perchè dici che $(x,x)$ è $M$?
non è più corretto:$F([(x,y)],t)=[(x,t(y-1/2)+1/2)]$ in modo che per $t=1$ ottieni $[(x,y)]$, dove con $[(x,y)]$ hai denotato la classe di equivalenza?
Sì, hai ragione, scusa, una svista.
Ciao "cirasa", ho letto ora tutto il post (soprattutto la parte finale) e devo dire che dimostri molta pazienza con gli utenti! Sei di grande supporto per il forum...ovviamente non sei l'unico perchè ci sono tanti bravi utenti che giornalmente ci si dedicano, ma ho colto questa occasione per farti i complimenti, sei senza dubbio uno tra i migliori nuovi "acquisti" (non me ne vogliano gli altri)!
"Alexp":E io mi accodo. Bravo cirasa, stai facendo un ottimo lavoro su questi forum!
Ciao "cirasa" [...] ho colto questa occasione per farti i complimenti [...]
Dai, ragazzi, non esagerate altrimenti arrossisco! Grazie Alexp e dissonance siete gentilissimi!
Per fortuna, in questo periodo ho un po' di tempo libero da dedicare a ciò che più mi piace.
E se un po' di lavoro serve ad avvicinare anche una sola persona al mondo della Matematica, allora è lavoro ben speso!
Tra l'altro scrivere su questo forum è anche un piacere, visto che ci sono persone in gamba con cui condividere interessi e scambiare idee.
Beh, ora basta complimenti altrimenti ci montiamo tutti la testa e diventiamo antipatici come i tifosi dell'Inter!
"cirasa":
E se un po' di lavoro serve ad avvicinare anche una sola persona al mondo della Matematica, allora è lavoro ben speso!
Questo è lo spirito giusto! Bravo!
"cirasa":
Beh, ora basta complimenti altrimenti ci montiamo tutti la testa e diventiamo antipatici come i tifosi dell'Inter!
Beh, non posso che condividere....sai, da tifoso milanista....
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