[Topologia generale] Sp. metrico compatto

[Seneca1]

Esercizio. Uno spazio metrico compatto è second countable (cioè ha una base numerabile).

Sia \( X \) uno spazio metrico compatto, $d$ la funzione distanza che induce la topologia metrica su \( X \). Cerco di costruire una base numerabile \( \mathcal{B} \) per \( X \).
Per ogni $n \in \mathbb{N}$ considero il ricoprimento aperto di \( X \) \[ \mathcal{U}_\frac{1}{n} = \{ B_d \left ( x, \frac{1}{n} \right ) \text{ tale che } x \in X \} \]
da cui estraggo, in virtù della compattezza di \( X \), un sottoricoprimento finito \(\displaystyle \mathcal{S}_\frac{1}{n} \). Allora la candidata base per lo spazio (metrico) topologico $X$ sarà \[ \mathcal{B} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{S}_\frac{1}{n} \]
$\mathcal{B}$ è una riunione numerabile di insiemi con un numero finito di sottoinsiemi di $X$ $\Rightarrow$ $\mathcal{B}$ è numerabile.
Le due proprietà da verificare perché $\mathcal{B}$ sia una base sono: 1. \[ \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = X \] banale.

2. Presi $B_1 , B_2 \in \mathcal{B}$ e $x \in B_1 \cap B_2$, allora esiste $B_3 \subset B_1 \cap B_2$ con $x \in B_3$.
Intuitivamente è evidente il perché la 2. funziona: al crescere di $n$ le tettoie finite che estraggo saranno via via più ricche di aperti di raggi sempre più piccoli.
Nel caso semplice di $B_1 \cap B_2$ finito, certamente esiste un $\bar{n} \in NN$ tale che $\forall n \ge \bar{n}$ , $B_d (x, \frac{1}{n} ) \in \mathcal{B}$... Altrimenti non è detto che $x$ sia proprio il centro di una palla di $\mathcal{B}$.

Qui sorge il problema, come si può concludere formalmente?

[perplesso1]

Equivalentemente puoi dimostrare che preso un punto $x \in X$ e un suo intorno $I_x$ esiste sempre una palla (facente parte della tua "base") che contiene $x$ ed è abbastanza piccola da essere contenuta in $I_x$. Vedi http://www.matematicamente.it/forum/esercizi-di-topologia-t93394-90.html#p635016