[Topologia] Famiglia di chiusi, chiusura ed assioma $T_0$
Mi sento ancora poco sicuro sugli esercizi di topologia e così volevo chiedervi una mano.
Consideriamo la topologia [tex]$ \mathcal{A} = \{ A \in \mathcal{A_N}| A \subset ]0,3[\} \cup \{\mathbb{R}\}[/tex]
La rispettiva famiglia di chiusi è [tex]$ \mathcal{C} = \{ C \in \mathcal{C_N}| ]-\infty,0] \cup[3,+\infty[ \subset C\} \cup \{\emptyset\}[/tex]. O mi sbaglio?
Anche perché se così fosse allora l'unico chiuso sarebbe [tex]\mathbb{R}[/tex]?
Quindi quando mi si chiede di determinare la chiusura di [tex][0,3], \{1\}[/tex], questa è proprio [tex]\mathbb{R}[/tex]
O sto sbagliando?
Mi si chiede inoltre di verificare se per tale topologia su $RR$ valga l'assioma [tex]\mathcal{T}_0[/tex] e secondo me non vale poiché considerati due qualsiasi punti fuori dall'intervallo il loro intorno è [tex]\mathbb{R}[/tex].
Grazie mille.
PS Una curiosità di notazione. Se mi si chiedesse di mostrare che [tex]f(x)=-x[/tex] è continua, considerata la controimmagine di un qualsiasi intervallo [tex]]a,b[[/tex] avrei che essa vale [tex]]-a,-b[[/tex], ma essendo $a -b$ quello non sarebbe un intervallo. E' possibile scriverlo come [tex]]-b,-a[[/tex], vero?
Consideriamo la topologia [tex]$ \mathcal{A} = \{ A \in \mathcal{A_N}| A \subset ]0,3[\} \cup \{\mathbb{R}\}[/tex]
La rispettiva famiglia di chiusi è [tex]$ \mathcal{C} = \{ C \in \mathcal{C_N}| ]-\infty,0] \cup[3,+\infty[ \subset C\} \cup \{\emptyset\}[/tex]. O mi sbaglio?
Anche perché se così fosse allora l'unico chiuso sarebbe [tex]\mathbb{R}[/tex]?
Quindi quando mi si chiede di determinare la chiusura di [tex][0,3], \{1\}[/tex], questa è proprio [tex]\mathbb{R}[/tex]
O sto sbagliando?
Mi si chiede inoltre di verificare se per tale topologia su $RR$ valga l'assioma [tex]\mathcal{T}_0[/tex] e secondo me non vale poiché considerati due qualsiasi punti fuori dall'intervallo il loro intorno è [tex]\mathbb{R}[/tex].
Grazie mille.
PS Una curiosità di notazione. Se mi si chiedesse di mostrare che [tex]f(x)=-x[/tex] è continua, considerata la controimmagine di un qualsiasi intervallo [tex]]a,b[[/tex] avrei che essa vale [tex]]-a,-b[[/tex], ma essendo $a
Risposte
No mistake stavolta ti sei un po' impaperato. Intanto, che significano i simboli? Assumo che [tex]\mathcal{A_N}[/tex] sia la famiglia degli aperti "naturali" di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Poi, se l'unico chiuso fosse [tex]\mathbb{R}[/tex] (oltre naturalmente a [tex]\varnothing[/tex]), gli unici aperti sarebbero [tex]\varnothing, \mathbb{R}[/tex], e non mi pare proprio.
Qui sono chiusi tutti i sottoinsiemi della retta il cui complementare è un sottoinsieme aperto di [tex](0, 3)[/tex].
Questa facciamo finta di non averla sentita, va.
Qui sono chiusi tutti i sottoinsiemi della retta il cui complementare è un sottoinsieme aperto di [tex](0, 3)[/tex].
PS Una curiosità di notazione. Se mi si chiedesse di mostrare che [tex]f(x)=-x[/tex] è continua, considerata la controimmagine di un qualsiasi intervallo [tex]]a,b[[/tex] avrei che essa vale [tex]]-a,-b[[/tex]Si, buonasera!!!
Questa facciamo finta di non averla sentita, va.
Ovviamente hai ragione dissonance, che vergogna 
A rileggerle adesso mi fanno quasi un po' ridere. Devo dormirci su mi sa
Post da dimenticare!
PS Comunque sì, [tex]\mathcal{A_N}[/tex] intendevo proprio la topologia naturale.
A rileggerle adesso mi fanno quasi un po' ridere. Devo dormirci su mi sa
Post da dimenticare!
PS Comunque sì, [tex]\mathcal{A_N}[/tex] intendevo proprio la topologia naturale.
Comunque la considerazione sull'assioma T0 è giusta.
Salviamo il salvabile
Cercavo invece un modo per scrivere la famiglia dei chiusi della topologia. In realtà quello che ho scritto voleva essere proprio ciò che dici tu (ciò il complementare di un qualsiasi elemento di [tex]$\mathcal{C}[/tex] è un aperto di [tex]\mathcal{A}[/tex], quindi forse non è errata.
Cercavo invece un modo per scrivere la famiglia dei chiusi della topologia. In realtà quello che ho scritto voleva essere proprio ciò che dici tu (ciò il complementare di un qualsiasi elemento di [tex]$\mathcal{C}[/tex] è un aperto di [tex]\mathcal{A}[/tex], quindi forse non è errata.
Ah si, se [tex]\mathcal{C_N}[/tex] significa "chiuso naturale" allora è giusto.
Si, mi scuso nuovamente. Avendolo trovato su praticamente tutti i testi che stavo consultando mi era sembrata una notazione standard.
Ed ho capito anche perchè ho erroneamente inteso $RR$ come unico elemento di quella topologia.
Grazie ancora dissonance e scusa ancora per l'obbrobrio che hai dovuto leggere
Ed ho capito anche perchè ho erroneamente inteso $RR$ come unico elemento di quella topologia.
Grazie ancora dissonance e scusa ancora per l'obbrobrio che hai dovuto leggere
"mistake89":eh figurati, con tutti gli obbrobri che capita di scrivere a me! Guarda questo, per esempio - leggi pure la risposta successiva di Fioravante. E questo? A Gugo fa ancora male la pancia, dalle troppe risate.
scusa ancora per l'obbrobrio che hai dovuto leggere
Di solito quando le sparo grosse poi mi trovo un pm di Steven che, con tatto, me lo fa presente: se non ci fosse lui sai quanti altri strafalcioni...!!! 
Devo assoldarlo anche io allora Steven 
E' che poi brucia quando ci si rende conto delle cose che si scrivono, dove basterebbe ragionarci usando il cervello qualche secondo in più. Che mi sia di lezione!
E' che poi brucia quando ci si rende conto delle cose che si scrivono, dove basterebbe ragionarci usando il cervello qualche secondo in più. Che mi sia di lezione!
"mistake89":
E' che poi brucia quando ci si rende conto delle cose che si scrivono, dove basterebbe ragionarci usando il cervello qualche secondo in più. Che mi sia di lezione!
Bravo, vedete di non scomodarmi troppo che la pazienza non è infinita
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