Topologia euclidea su un intervallo di $RR$

[Str11]

Ho un dubbio probabilmente stupido. Se consideriamo un sottospazio di $RR$ con la topologia euclidea, per esempio $[0,1]$, e la topologia su esso indotta, diciamo che un aperto in $[0,1]$ può avere la forma $[0,b), b<1$ (o equivalentemente $(a,1], a>0$). Se io invece prendessi come spazio l'intervallo $[0,1]$ con la topologia euclidea, un insieme aperto sarebbe definito come lo è su tutto $RR$, quindi come unione di insiemi del tipo $(a,b), 0

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Risposte

dissonance

5 feb 2021, 17:36

Che cosa significa “topologia euclidea su $[0,1]$”? Se dai una definizione di questo, possiamo ragionare. Altrimenti, l’unica topologia definita “gratis” su $[0,1]$ è quella indotta dalla topologia di $\mathbb R$.

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Str11

5 feb 2021, 17:50

ok, quindi il concetto è questo: si parte da $RR$ e si considera la metrica euclidea, questa induce una topologia che è la topologia euclidea. è così?

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otta96

5 feb 2021, 17:53

E come si passa a $[0,1]$?

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Str11

5 feb 2021, 17:56

suppongo attraverso la topologia indotta se vogliamo restare con quella euclidea, oppure definendo una nuova topologia

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dissonance

5 feb 2021, 18:26

Immagino che la questione sia solo notazionale. Qualcuno ti deve aver parlato di “topologia euclidea su \([0, 1]\)”. E che cos’è questa topologia? Bisognerebbe chiederlo a questo qualcuno; io ribadisco che l’unica topologia standard su \([0, 1]\) è quella indotta dalla topologia di \(\mathbb R\).

Una domanda leggermente più interessante sarebbe la seguente; su \([0, 1]\) abbiamo in modo naturale una metrica, quella del valore assoluto. Qual è la topologia indotta da questa metrica? Sorpresa, sorpresa: è la stessa di prima.

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otta96

5 feb 2021, 18:38

Si può procedere in due modi "naturali" o si considera la METRICA su $[0,1]$ indotta da $RR$ e poi considerare la topologia che si ricava da quella metrica, o si considera direttamente la topologia indotta su $[0,1]$.
Ciò che risulta è che si ottiene la stessa topologia con i due metodi (che si chiama topologia euclidea), e questa cosa vale per qualsiasi sottoinsieme di uno spazio metrico, pensaci e convincitene.
Quindi la risposta alla domanda iniziale è no.

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Str11

5 feb 2021, 19:31

"dissonance": l’unica topologia standard su \([0, 1]\) è quella indotta dalla topologia di \(\mathbb R\).

"otta96": si considera la METRICA su $[0,1]$ indotta da $RR$

scusate la banalità, ma con "topologia di $RR$", e "metrica indotta da $RR$", intendiamo cosa? perché su $RR$ potremmo ovviamente mettere un'altra topologia/metrica. però suppongo si tratti di quella euclidea, giusto?

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otta96

5 feb 2021, 20:00

Si quando non si specifica di quale metrica/topologia su $RR$ si stia parlando, si sottintende che sia quella euclidea.

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Str11

5 feb 2021, 20:09

perfetto. ora è chiaro, grazie a tutti

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marco2132k

6 feb 2021, 21:49

Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine? In questo caso la domanda sarebbe stata se la topologia dell’ordine e quella indotta dall’euclidea di \( \mathbb R \) su \( [0,1]\) fossero uguali.

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otta96

6 feb 2021, 22:17

"marco2132k":Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine?

Non vedo perchè, e dato che nel messaggio originale non era specificato, ognuno la poteva interpretare un po' come gli pareva. Quindi ho detto un paio di modi in cui uno potrebbe averla definita, ma non escludendo che ce ne siano altri.

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marco2132k

6 feb 2021, 22:37

Non vedo perch

Perché op dice che gli aperti hanno la forma [min[0,1], a] al variare di a in [0,1], o la forma [a, max[0,1]]. Questa è la topologia dell’ordine su un poset con max e min.

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dissonance

6 feb 2021, 23:20

"marco2132k":Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine? In questo caso la domanda sarebbe stata se la topologia dell’ordine e quella indotta dall’euclidea di \( \mathbb R \) su \( [0,1]\) fossero uguali.

Certamente, quella è ancora un’altra possibilità. È chiaro che alla fine le tre costruzioni danno la stessa topologia, ma a priori non è ovvio, anche se è piuttosto semplice da dimostrare. (Le tre costruzioni sono: topologia indotta dalla topologia dell’ordine su \(\mathbb R\), topologia dell’ordine su \([0,1]\), topologia indotta dalla metrica \(d(x, y)=\lvert x-y\rvert\). Tutte e tre hanno uguale diritto a chiamarsi “topologia euclidea” su \([0, 1]\)).

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[dissonance]

Che cosa significa “topologia euclidea su $[0,1]$”? Se dai una definizione di questo, possiamo ragionare. Altrimenti, l’unica topologia definita “gratis” su $[0,1]$ è quella indotta dalla topologia di $\mathbb R$.

[Str11]

ok, quindi il concetto è questo: si parte da $RR$ e si considera la metrica euclidea, questa induce una topologia che è la topologia euclidea. è così?

[otta96]

E come si passa a $[0,1]$?

[Str11]

suppongo attraverso la topologia indotta se vogliamo restare con quella euclidea, oppure definendo una nuova topologia

[dissonance]

Immagino che la questione sia solo notazionale. Qualcuno ti deve aver parlato di “topologia euclidea su \([0, 1]\)”. E che cos’è questa topologia? Bisognerebbe chiederlo a questo qualcuno; io ribadisco che l’unica topologia standard su \([0, 1]\) è quella indotta dalla topologia di \(\mathbb R\).

Una domanda leggermente più interessante sarebbe la seguente; su \([0, 1]\) abbiamo in modo naturale una metrica, quella del valore assoluto. Qual è la topologia indotta da questa metrica? Sorpresa, sorpresa: è la stessa di prima.

[otta96]

Si può procedere in due modi "naturali" o si considera la METRICA su $[0,1]$ indotta da $RR$ e poi considerare la topologia che si ricava da quella metrica, o si considera direttamente la topologia indotta su $[0,1]$.
Ciò che risulta è che si ottiene la stessa topologia con i due metodi (che si chiama topologia euclidea), e questa cosa vale per qualsiasi sottoinsieme di uno spazio metrico, pensaci e convincitene.
Quindi la risposta alla domanda iniziale è no.

[Str11]

"dissonance": l’unica topologia standard su \([0, 1]\) è quella indotta dalla topologia di \(\mathbb R\).

"otta96": si considera la METRICA su $[0,1]$ indotta da $RR$

scusate la banalità, ma con "topologia di $RR$", e "metrica indotta da $RR$", intendiamo cosa? perché su $RR$ potremmo ovviamente mettere un'altra topologia/metrica. però suppongo si tratti di quella euclidea, giusto?

[otta96]

Si quando non si specifica di quale metrica/topologia su $RR$ si stia parlando, si sottintende che sia quella euclidea.

[Str11]

perfetto. ora è chiaro, grazie a tutti

[marco2132k]

Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine? In questo caso la domanda sarebbe stata se la topologia dell’ordine e quella indotta dall’euclidea di \( \mathbb R \) su \( [0,1]\) fossero uguali.

[otta96]

"marco2132k":Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine?

Non vedo perchè, e dato che nel messaggio originale non era specificato, ognuno la poteva interpretare un po' come gli pareva. Quindi ho detto un paio di modi in cui uno potrebbe averla definita, ma non escludendo che ce ne siano altri.

[marco2132k]

Non vedo perch

Perché op dice che gli aperti hanno la forma [min[0,1], a] al variare di a in [0,1], o la forma [a, max[0,1]]. Questa è la topologia dell’ordine su un poset con max e min.

[dissonance]

"marco2132k":Scusate, ma non è che la “topologia euclidea” su \( [0,1] \) avrebbe dovuto essere quella dell’ordine? In questo caso la domanda sarebbe stata se la topologia dell’ordine e quella indotta dall’euclidea di \( \mathbb R \) su \( [0,1]\) fossero uguali.

Certamente, quella è ancora un’altra possibilità. È chiaro che alla fine le tre costruzioni danno la stessa topologia, ma a priori non è ovvio, anche se è piuttosto semplice da dimostrare. (Le tre costruzioni sono: topologia indotta dalla topologia dell’ordine su \(\mathbb R\), topologia dell’ordine su \([0,1]\), topologia indotta dalla metrica \(d(x, y)=\lvert x-y\rvert\). Tutte e tre hanno uguale diritto a chiamarsi “topologia euclidea” su \([0, 1]\)).