Topologia e successioni

[balestrav]

Preso uno spazio X volevo chiedere se è vero che dare una topologia su X è equivalente a dare una nozione di convergenza per le successioni, e in tal caso perchè. E' chiaro che data una topologia si sa quali sono le successioni che convergono, ma il mio dubbio è se viceversa basta sare una nozione di convergenza per le successioni per determinare una topologia

[dissonance]

Sono sicuro che la risposta è: No, non è sufficiente. Esistono cioè esempi di insiemi dotati di due distinte topologie tali che ogni successione convergente nel senso di una è convergente anche nel senso dell'altra. Solo che in questo momento non mi viene in mente un esempio ( ). Prova a giocare un po' con $\mathbb{R}$ munito della topologia cofinita, ovvero la topologia in cui sono chiusi tutti e soli gli insiemi finiti.

[dissonance]

Tieni comunque presente che per spazi metrizzabili il risultato è vero: due topologie metrizzabili $tau_1,\ tau_2$ sullo stesso insieme $X$ e che ammettono esattamente le stesse successioni convergenti coincidono. Infatti, nel caso metrizzabile un insieme è chiuso se e solo se esso è chiuso per successioni, perciò l'ipotesi equivale a richiedere che ogni chiuso nel senso di $tau_1$ sia chiuso anche nel senso di $tau_2$ e viceversa.

[j18eos]

Se pretendi che la topologia sia \(\mathrm{N}_1\) ottieni l'equivalenza.

[marco.bre]

"j18eos":Se pretendi che la topologia sia \(\mathrm{N}_1\) ottieni l'equivalenza.

cosa sarebbe la topologia \(\displaystyle \mathrm{N}_1 \)?

[j18eos]

Proprio ieri sera (alias questa notte), mentre aspettavo il pull-man notturno per tornarmene a casa pensavo agli spazi \(\displaystyle\mathbf{N}_1\): uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) soddisfa questa proprietà se per ogni suo punto \(\displaystyle x\in X\) esiste una base di intorni o sistema fondamentale di intorni (s.f.i.) numerabile!

[marco.bre]

ah ok, il primo assioma di numerabilità quindi! thanks

[j18eos]

Prego, di nulla!

Comunque sappi che è una notazione standard.

[marco.bre]

"j18eos":

Comunque sappi che è una notazione standard.

Lo terrò a mente