Topologia e spazi metrici
Salve, a tutti.
Sia data l'insieme $ X={(x,y)\ in RR^2| (x^2 +y^2 -1)(x^2 -y^2 -1)=0 }
Ho già dimostrato che $X$ è connesso ma non compatto (abbastanza facile).
Quello che non riesco a fare è il seguente punto.
Sia $ f:X rightarrow X $ un omeomorfismo. Mi viene richiesto di dimostrare che $f(f(A))=A$, $f(f(B))=B$, dove $A=(-1,0)$ e $B=(1,0)$
Grazie in anticipo.
Sia data l'insieme $ X={(x,y)\ in RR^2| (x^2 +y^2 -1)(x^2 -y^2 -1)=0 }
Ho già dimostrato che $X$ è connesso ma non compatto (abbastanza facile).
Quello che non riesco a fare è il seguente punto.
Sia $ f:X rightarrow X $ un omeomorfismo. Mi viene richiesto di dimostrare che $f(f(A))=A$, $f(f(B))=B$, dove $A=(-1,0)$ e $B=(1,0)$
Grazie in anticipo.
Risposte
Bah, si tratta di fare qualche osservazione geometrica stupida. Ad esempio, [tex]A[/tex] ha la proprietà di avere un intorno [tex]U[/tex] in [tex]X[/tex] connesso tale che [tex]U \setminus \{A\}[/tex] abbia quattro componenti connesse. La stessa proprietà ha [tex]B[/tex]. Inoltre è facile controllare che non ci sono altri punti con questa proprietà (sapresti farlo in modo economico?).
A questo punto è facile: se [tex]f[/tex] è un omeomorfismo vengono conservate tutte le proprietà topologiche; in particolare l'esistenza di quell'intorno con quelle proprietà per [tex]A[/tex] fa sì che un simile intorno debba esistere anche per [tex]f(A)[/tex]. Abbiamo allora due possibilità: [tex]f(A) = A[/tex] oppure [tex]f(A) = B[/tex]; nel primo caso, essendo [tex]f[/tex] biunivoca, siamo forzati ad assumere [tex]f(B) = B[/tex], nel secondo caso, per lo stesso motivo [tex]f(B) = A[/tex]. Quindi nel primo caso la tesi è banale; nel secondo [tex]f(f(A)) = f(B) = A[/tex] e [tex]f(f(B)) = f(A) = B[/tex].
A questo punto è facile: se [tex]f[/tex] è un omeomorfismo vengono conservate tutte le proprietà topologiche; in particolare l'esistenza di quell'intorno con quelle proprietà per [tex]A[/tex] fa sì che un simile intorno debba esistere anche per [tex]f(A)[/tex]. Abbiamo allora due possibilità: [tex]f(A) = A[/tex] oppure [tex]f(A) = B[/tex]; nel primo caso, essendo [tex]f[/tex] biunivoca, siamo forzati ad assumere [tex]f(B) = B[/tex], nel secondo caso, per lo stesso motivo [tex]f(B) = A[/tex]. Quindi nel primo caso la tesi è banale; nel secondo [tex]f(f(A)) = f(B) = A[/tex] e [tex]f(f(B)) = f(A) = B[/tex].
Grazie della risposta.
Prego! Comunque prova a rispondere alla mia domanda, in modo da completare per bene i dettagli. Se poi hai dei problemi, fammi sapere!
Ciao, Maurer,
scusa per il ritardo della mia risposta.
Allora per quanto riguarda la domanda che mi poni, cioè che se togli $A$ da $U$ (oppure se togli $B$, tanto il ragionamento e identico per simmetria) ti rimangono quattro componenti connesse.
Infatti se considererei $C$ diverso da $A$ (e da $B$) essa si troverebbe nel cerchio o nel iperbole allora $U \\ C$ avrebbe due componenti connesse. L'unico modo che ci siano quattro e che ci siano due nel cerchio e due nel iperbole contemporaneamente, cioè $C =A$ (oppure $B$). Poi segue il resto dal tuo ragionamento.
scusa per il ritardo della mia risposta.
Allora per quanto riguarda la domanda che mi poni, cioè che se togli $A$ da $U$ (oppure se togli $B$, tanto il ragionamento e identico per simmetria) ti rimangono quattro componenti connesse.
Infatti se considererei $C$ diverso da $A$ (e da $B$) essa si troverebbe nel cerchio o nel iperbole allora $U \\ C$ avrebbe due componenti connesse. L'unico modo che ci siano quattro e che ci siano due nel cerchio e due nel iperbole contemporaneamente, cioè $C =A$ (oppure $B$). Poi segue il resto dal tuo ragionamento.
Ok!
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