Topologia - discreto infinito in un compatto

[nuwanda1]

Salve ragazzi... la mia giornata è stata turbata da un esercizio che ho svolto stamattina. Mi si chiedeva di osservare che un chiuso discreto in un compatto è finito. Tutto è filato liscio, però mi sono chiesto: se non fosse chiuso? Ho provato a cercare controesempi togliendo l'ipotesi di chiuso: se prendo la successione $1/n$ con $n in NN$ dentro il compatto $[0,1]$, ho una successione infinita, i punti sono discreti e stanno in un compatto. Ma cercando su internet, ho trovato che un qualsiasi discreto dentro un compatto è finito. Allora dove cosa c'è che fallisce nel mio controesempio?

[killing_buddha]

Se non sbaglio \(\{1/n\mid n\}\) e' discreto solo in \(]0,1]\) (altrimenti ha un punto di accumulare, come diceva il mio vecchio docente), che non e' compatto.

Vado ancora a memoria, ma provo a dire un modo in cui e' possibile provare che un discreto in un compatto deve essere finito.
Supponi $X$ discreto e infinito in un compatto $X$; discreto vuol dire che per ogni punto di $S$ esiste un intorno che interseca solo lui; costruisci un ricoprimento fatto da questi intorni, scelti in modo da avere ancora la proprieta' di intersecare $S$ solo in un punto, ma di essere abbastanza grossi da coprire tutto $X$ (dovrebbe potersi fare: controlla e dimmi se e' falso). Il covering $\{A_s\}_{s\in S}$ e' infinito e minimale, perche' se togli un intorno attorno a uno dei punti di $S$, resta tutto un aperto attorno a $s\in S$ "scoperto". Ancora, dimmi se questo e' falso.

[nuwanda1]

Non capisco perchè ${1/n | n in NN}$ smette di essere discreto in $[0,1]$ compatto... $0$ non sta nell'insieme ${1/n}$, quindi qualsiasi punto di sta successione lo posso "ingabbiare" in un apertino $(1/(n + 1/2), 1/(n + 3/2))$... nella tua dimostrazione non so se puoi "allargare" i tuoi aperti... ad esempio, in $[0,1]$, come fai a ricoprire il punto $0$ con un aperto che interseca un punto di quella succesione, proprio perchè è di accumulazione?