Topologia di zarisky
qualcuno potrebbe darmi un suggerimento su come dimostrare che la topologia di Zarisky non è hausdorff?
Risposte
Come sono fatti gli aperti della topologia di Zarinski? Mi faresti l'esempio di due aperti disgiunti?
detto $a=(a_1,...,a_n)\in CC^{n}$,
Se i chiusi sono del tipo $V(I)={a\in CC^{n} \; f_1(a)=...=f_s(a)=0}$ dove $f_1,...,f_s$ sono dei generatori dell'ideale $I$, allora gli aperti sono costituiti dai punti
$a\in CC^{n}$ tali che $f_1(a)!=0,...,f_s(a)!=0$. corretto?
Se i chiusi sono del tipo $V(I)={a\in CC^{n} \; f_1(a)=...=f_s(a)=0}$ dove $f_1,...,f_s$ sono dei generatori dell'ideale $I$, allora gli aperti sono costituiti dai punti
$a\in CC^{n}$ tali che $f_1(a)!=0,...,f_s(a)!=0$. corretto?
La proprietà degli aperti della topologia di Zarinski che pensavo avessi fatto era la seguente: tutti gli aperti nella topologia di Zarinski sono aperti. Questo in particolare significa che due aperti qualsiasi si intersecano sempre e quindi la topologia non può essere di Hausdorff. Ti rimane quindi da dimostrare che gli aperti che hai descritto sono densi (che la loro chiusura è tutto $CC^n$).
non ho capito cosa vuoi dire. mi sembra ovvio che tutti gli aperti siano aperti!
forse nn capisco!
forse nn capisco!
Bhe... se andavi avanti l'avevo poi scritto giusto. Gli aperti nella topologia di Zarinski sono densi.
e cm faccio a mostrare che sono densi???
Se non avete fatto questa proprietà allora puoi ragionare nel seguente modo.
Supponiamo che la topologia di Zarinski sia di Hausdorff. Prendo allora due punti $P_1$ e $P_2$ e due loro intorni disgiunti $A_1$ e $A_2$ (che posso supporre aperti). Prendo allora i due chiusi
$C_1 = CC^n - A_1$ e $C_2 = CC^n - A_2$. La loro unione è $C_1 \cup C_2 = (CC^n - A_1) \cup (CC^n - A_2) = CC^n - (A_1 \cap A_2) = CC^n$. $C_1 \subset CC^n$ e $C_2 \subset CC^n$ implicano $(0) \subset I(C_1)$ e $(0) \subset I(C_2)$ (dove $I(C_i)$ è l'ideale dei polinomi che si azzerano in $C_i$). Ma $(0)$ è primo in $\CC[X_1, ... , X_n]$ e quindi siamo arrivati ad un assurdo e la topologia di Zarinski non può essere di Hausdorff.
Supponiamo che la topologia di Zarinski sia di Hausdorff. Prendo allora due punti $P_1$ e $P_2$ e due loro intorni disgiunti $A_1$ e $A_2$ (che posso supporre aperti). Prendo allora i due chiusi
$C_1 = CC^n - A_1$ e $C_2 = CC^n - A_2$. La loro unione è $C_1 \cup C_2 = (CC^n - A_1) \cup (CC^n - A_2) = CC^n - (A_1 \cap A_2) = CC^n$. $C_1 \subset CC^n$ e $C_2 \subset CC^n$ implicano $(0) \subset I(C_1)$ e $(0) \subset I(C_2)$ (dove $I(C_i)$ è l'ideale dei polinomi che si azzerano in $C_i$). Ma $(0)$ è primo in $\CC[X_1, ... , X_n]$ e quindi siamo arrivati ad un assurdo e la topologia di Zarinski non può essere di Hausdorff.
Su $A^n$ è facile :
1 dimostri che $A^n$ è irriducibile: se $A^n=X \cup Y$ con $X,Y$ chiusi allora guardando agli anelli delle coordinate hai che dovrebbero esistere $f\in I(X)\setminus I(Y)$ e $g\in I(Y)\setminus I(X)$. Ma allora si dovrebbe avere in $A=C[x_1,...,x_n]$ $fg=0$ e questo è assurdo perchè $A$ è non ha zero divisori.
2 per irriducibilità segue che ogni aperto in $A^n$ è denso infatti supponi che $U$ sia un aperto non denso allora $A^n=\bar{U}\cup(A^n\setminus U)$ cioè l'hai scritto come unione non banale di chiusi e questo è assurdo perchè $A^n$ è irriducibile
Se Z è un insieme algebrico qualunque prendi la sua decomposizione in irriducibili $Z=Z_1\cup...\cup Z_r$ prendi $p,q\in Z_1\setminus (\cup_{i\ne 1} Z_i)$ non riesci a trovare intorni aperti in Z che separano p e q perchè contraddirresti l'irriducibilità di $Z_1$ (il motivo è lo stesso di $A^n$)quindi non è Hausdorff
1 dimostri che $A^n$ è irriducibile: se $A^n=X \cup Y$ con $X,Y$ chiusi allora guardando agli anelli delle coordinate hai che dovrebbero esistere $f\in I(X)\setminus I(Y)$ e $g\in I(Y)\setminus I(X)$. Ma allora si dovrebbe avere in $A=C[x_1,...,x_n]$ $fg=0$ e questo è assurdo perchè $A$ è non ha zero divisori.
2 per irriducibilità segue che ogni aperto in $A^n$ è denso infatti supponi che $U$ sia un aperto non denso allora $A^n=\bar{U}\cup(A^n\setminus U)$ cioè l'hai scritto come unione non banale di chiusi e questo è assurdo perchè $A^n$ è irriducibile
Se Z è un insieme algebrico qualunque prendi la sua decomposizione in irriducibili $Z=Z_1\cup...\cup Z_r$ prendi $p,q\in Z_1\setminus (\cup_{i\ne 1} Z_i)$ non riesci a trovare intorni aperti in Z che separano p e q perchè contraddirresti l'irriducibilità di $Z_1$ (il motivo è lo stesso di $A^n$)quindi non è Hausdorff
Altro motivo più generale(esercizio Eisenbud-Harris): Se X è uno spazio topologico noetheriano e Hausdorff allora deve essere un insieme finito con la topologia discreta. Io l'ho risolto così: assumi il contrario cioè noetheriano e Hausdorff non finito, fissa un punto $p$ e prendine un'altro $q_1$. Esistono introni $U_1$ di $p$, $V_1$ di $q_1$ disgiunti, prendi $Z_1=\bar{U_1}$. Se in $Z_1=\{p\}$ cambia $p$ con un punto in $V_1$ (deve esistere perchè insieme infinito) e ricomincia. Se c'è un'altro punto in $V_1$ diverso da p prendi questo e chiamalo $q_2$ per Hausdorff esisteranno intorni $U_2$ e $V_2$ disgiunti chiama $Z_2=\bar{V_2}$, puoi supporre (a meno di intersecare) che $Z_2\subset Z_1$. Iterando il ragionamento hai una successione di chiusi $... Z_2 \subset Z_1$ che per noetherianità si deve stabilizzare ad un certo passo $N$. Ma ora $q_{N+1}$ da una parte deve essere disgiunto da $Z_{N}$ dall'altra $q_{N+1}\in Z_{N+1}=Z_N$ e questo è assurdo.
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