Topologia di Zariski su $\mathbb{K}^n$
Premessa
Volevo proporre un esercizio sulla topologia di Zariski, sia per vedere se l'ho svolto correttamente e sia per chi fosse curioso e volesse approfondire l'argomento. Si tratta di un esercizio molto lungo, quindi invito chiunque a correggermi nel caso avessi sbagliato qualcosa e avere pazienza nel leggere tutto. Grazie.
Testo
Sia $\mathbb{K}$ un campo (dove indichiamo con $0$ l'elemento neutro della somma e $1$ l'elemento neutro del prodotto). Sia $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ l’anello dei polinomi con coefficienti in $\mathbb{K}$ nelle variabili $x_1,..., x_n$. Per ogni sottoinsieme $Esube\mathbb{K}[x_1, ..., x_n]$ si definisca:
$V(E)={ain\mathbb{K}^n|AAfinE, f(a)=0}sube\mathbb{K}^n$;
i sottoinsiemi di $\mathbb{K}^n$ di questo tipo si chiamano chiusi algebrici di $\mathbb{K}^n$. Per brevità se $f_1,... , f_rin\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ si pone $V(f_1,... , f_r)= V({f_1,..., f_r})$.
(1) Per $\mathbb{K}=RR$ si disegnino i seguenti sottoinsiemi di $RR^2$:$V(x_1^2+x_2^2-1),V(x_1^2+x_2^2+1),V(x_1-5,x_2-3),V(x_1+x_2-1,x_2^3)$
(2) Si provino le seguenti affermazioni:
(a) se $EsubeE'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ allora $V(E')subeV(E)$,
(b) se $Esube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ e $I$ è l’ideale dell’anello $K[x_1,... , x_n]$ generato da $E$ allora $V(E) = V(I)$,
(c) se $I$ e $J$ sono ideali di $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ allora $V(InnJ) = V(I)uuV(J)$,
(d) se ${E_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ è una famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ allora vale $V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)=nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda)$,
(e) $V(∅)=V(0)=\mathbb{K}^n$,
(f) $V(1)=V(\mathbb{K}[x_1,..., x_n])=∅$.
(3) Si provi che $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}={\mathbb{K}^n\\V(E) | Esube\mathbb{K}[x_1,..., x_n]}$ è una topologia su $\mathbb{K}^n$. Si chiama topologia di Zariski.
(4) Si faccia vedere che i punti sono chiusi algebrici.
(5) Si provi che $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è uno spazio topologico T1.
(6) Si provi che se $\mathbb{K}$ è finito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^n$ coincide con la topologia discreta.
(7) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}$ coincide con la topologia cofinita.
(8) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito e $n>=2$ allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^n$ è strettamente più fine della topologia cofinita.
(9) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^2$ è strettamente più fine del prodotto della topologia di Zariski su $\mathbb{K}$ con se stessa, cioè $\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}sup\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$
(10) Se $\mathbb{K}$ è infinito e $Esube\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ è tale che $V(E) = \mathbb{K}^n$ allora si provi $E = ∅$.
(11) Se $\mathbb{K}$ è finito allora si trovi un polinomio $fin\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ non nullo tale che $V(f)=\mathbb{K}^n$.
(12) Se $\mathbb{K}$ è infinito allora si provi che l’intersezione di due qualsiasi aperti non vuoti di $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è non vuota.
(13) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ non è T2.
(14) Si dia per buono il seguente fatto (che segue dalla noetherianità dell’anello $\mathbb{K}[x_1,..., x_n])$: se ${I_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ è una famiglia di ideali di $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$, allora esiste un sottoinsieme finito $\Lambda'sube\Lambda$ tale che $\sum_{\lambdain\Lambda}I_\lambda=\sum_{\lambdain\Lambda'}I_\lambda$. Si provi che $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è compatto.
(15) Se $\mathbb{K}= RR$ allora si provi che la topologia di Zariski su $RR^n$ è strettamente meno fine della topologia euclidea su $RR^n$, cioè $\tau_{RR^n,text(Zar)}sub\tau_{RR^n,text(eucl)}$.
(16) Se $\mathbb{K}= CC$ allora si provi che la topologia di Zariski su $CC^n$ è strettamente meno fine della topologia euclidea su $CC^n$, cioè $\tau_{CC^n,text(Zar)}sub\tau_{CC^n,text(eucl)}$.
Soluzione
(1) $V(x_1^2+x_2^2-1)=S^1$, $V(x_1^2+x_2^2+1)=∅$, $V(x_1-5,x_2-3)=(5,3)$, $V(x_1+x_2-1,x_2^3)=(1,0)$.
(2a) Sia $ainV(E')$ allora $AAfinE'$ $f(a)=0$, siccome $EsubeE'$ in particolare $AAginE$ $g(a)=0$, per cui $ainV(E)$ e quindi $V(E')subeV(E)$.
(2b) Abbiamo che $I={g_1f_1+...+g_kf_k|kinNN,g_1,...,g_kin\mathbb{K}[x_1,..., x_n],f_1,...,f_kinE}$. Poichè $EsubeI$ per il punto (2a) abbiamo $V(I)subeV(E)$. Sia $ainV(E)$ e sia $hinI$, allora $h(a)=g_1(a)f_1(a)+...+g_k(a)f_k(a)=0$ poichè $f_1(a)=...=f_k(a)=0$ per cui $V(E)subeV(I)$.
(2c) Sia $ainV(I)uuV(J)$, allora $AAfinI$ $f(a)=0$ e/o $AAginJ$ $g(a)=0$, per cui $AAhinInnJ$ $h(a)=0$ (poichè $h$ sta sia in $I$ che in $J$) e quindi $V(I)uuV(J)subeV(InnJ)$. Sia ora $ainV(InnJ)$ per cui $AAhinInnJ$ $h(a)=0$. Abbiamo che $fginInnJ$ $AAfinI$ $AAginJ$ per le proprietà di assorbimento degli ideali, per cui $f(a)g(a)=0$ $AAfinI$ $AAginJ$. Quindi se $EE\bar finI$ (oppure $EE\bar ginJ$) tale che $\bar f (a)!=0$ ( oppure $\ bar g (a)!=0$) allora siccome $\bar f (a)g(a)=0$ $AAginJ$ (oppure $f(a) \bar g (a)=0$ $AAfinI$) allora $g(a)=0$ $AAginJ$ (oppure $f(a)=0$ $AAfinI$) e quindi $ainV(I)uuV(J)$, ovvero $V(InnJ)subeV(I)uuV(J)$.
(2d)Abbiamo che $V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)={ain\mathbb{K}^n|AAfinuu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda, f(a)=0}={ain\mathbb{K}^n|AAfinE_\lambda, AA\lambdain\Lambda, f(a)=0}=nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda)$.
(2e) Si usa il fatto che $V(∅)$ non impone condizioni su $ain\mathbb{K}^n$ e che il polinomio $0$ è sempre nullo calcolato in ogni valore.
(2f) Si usa il fatto che il polinomio $1$ non è mai nullo calcolato in ogni valore e che $1in\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$.
(3) Poichè $V(0)=\mathbb{K}^n$ e $V(1)=∅$ allora $∅,\mathbb{K}^nin\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$. Siano $\mathbb{K}^n\\V(E_1),...,\mathbb{K}^n\\V(E_r)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ con $E_1,...,E_rsube\mathbb{K}[x_1, ..., x_n]$, abbiamo che $nn_{j=1}^r \mathbb{K}^n\\V(E_j)=\mathbb{K}^n\\(uu_{j=1}^r V(E_j))$, usando il punto (2b) $V(E_j)=(I_j)$ con $j=1,...,r$ e usando induttivamente il punto (2c) l'ultima espressione è uguale a $\mathbb{K}^n\\V(nn_{j=1}^r I_j)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$. Sia ora ${\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)}_(\lambdain\Lambda)$ una famiglia di aperti di $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ con ${E_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$. Allora $uu_{\lambdain\Lambda}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n\\(nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda))$ usando il punto (2d) quest'ultimo è uguale a $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$.
(4) Sia $p=(p_1,...,p_n)in\mathbb{K}^n$, consideriamo l'insieme $E={x_1-p_1,...,x_n-p_n)$, allora $V(E)={p}$, per cui i punti sono chiusi algebrici.
(5) Presi $x!=yin\mathbb{K}^n$ usando il punto (4) abbiamo che $\mathbb{K}^n\\{x},\mathbb{K}^n\\{y}$ sono due aperti di $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ tali che $xnotin\mathbb{K}^n\\{x},yin\mathbb{K}^n\\{x},x in\mathbb{K}^n\\{y},ynotin\mathbb{K}^n\\{y}$, per cui $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è T1.
(6) Abbiamo che $\mathbb{K}^n$ è finito e T1. In generale preso uno spazio topologico $X$ finito e T1, esso è discreto, infatti $AAx inX$ poichè $X$ è T1 si ha che ${x}$ è chiuso, inoltre poichè $X$ è finito allora $X={x_1,...,x_n}$ e preso $x_iinX$ si ha che $X\\{x_i}=uu_{k=1,k!=i}^{n}x_i$ è chiuso e quindi ${x_i}$ è aperto e quindi $X$ discreto.
(7) Siccome $(\mathbb{K}, \tau_{\mathbb{K},text(Zar)})$ è T1 allora $\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}supe\tau_{cof}$. Sia $\mathbb{K}\\V(E)in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ con $Esube\mathbb{K}[x_1]$, sia $f$ il polinomio di grado minimo in $E$ (nel caso ce ne fosse più di uno, si può scegliere uno qualunque di essi). Se esiste un polinomio che ha tutte radici diverse da $f$ allora $V(E)=∅$ (quindi $\mathbb{K}\\V(E)=\mathbb{K}in\tau_{cof}$), mentre se ogni polinomio di $E$ ha almeno una radice in comune con $f$ allora $|V(E)|<=deg(f)$ poichè in un campo un polinomio ha al massimo un numero di radici pari al suo grado, per cui $V(E)$ è finito, ma allora per definizione di topologia cofinita $\mathbb{K}\\V(E)in\tau_{cof}$, per cui $\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}sube\tau_{cof}$.
(8) Siccome $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è T1 allora $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}sup\tau_{cof}$. Sia $E={x_2,...,x_n}$ allora $V(E)={(a_1,0,...,0)|a_1in\mathbb{K}}$ è infinito poichè $\mathbb{K}$ è infinito, ma allora $\mathbb{K}^n\\V(E)notin\tau_{cof}$ (notare che $V(E)!=\mathbb{K}^n$ per $n>=2$).
(9) Siano $Esube\mathbb{K}[x_1], E'sube\mathbb{K}[x_2]$, si ha che $\mathbb{K}\\V(E)xx\mathbb{K}\\V(E')in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$, ma $\mathbb{K}\\V(E)xx\mathbb{K}\\V(E')=\mathbb{K}^2\\V(EuuE')in\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}$, per cui $\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}sup\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$. Sia $E={x_1-x_2}$ allora $\mathbb{K}^2\\V(E)={(a_1,a_2)in\mathbb{K}^2|a_1!=a_2}$, se per assurdo $\mathbb{K}^2\\V(E)in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ allora $EEA,Bin\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ tali che $\mathbb{K}^2\\V(E)=AxxB$. Poichè ad esempio ${(a_1,1)in\mathbb{K}^2|a_1!=1}uu{(1,0)},{(1,a_2)in\mathbb{K}^2|a_2!=1}uu{(0,1)}sube\mathbb{K}^2\\V(E)$ allora $A=B=\mathbb{K}$, ma ciò è assurdo poichè $\mathbb{K}^2\\V(E)!=\mathbb{K}^2$. Per cui $\mathbb{K}^2\\V(E)notin\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ mentre $\mathbb{K}^2\\V(E)in\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}$.
(10) Supponiamo che $E!=∅$, sia $finE$ allora poichè $V(E)=\mathbb{K}^n$ si ha $f(a)=0$ $AAain\mathbb{K}^n$, in particolare preso $a^((i))=(0,...,0,a_i,0,...,0)$ con $a_iin\mathbb{K}$ (in posizione $i$) vale che $f(a^((i)))=0$ $AAi=1,...,n$, ma $f(0,...,0,x_i,0,...,0)$ è un polinomio nella variabile $x_i$ (ovvero in una variabile) $AAi=1,...,n$ che ha infinite radici (poichè $\mathbb{K}$ è infinito) nel campo $\mathbb{K}$ e quindi necessariamente $f(0,...,0,x_i,0,...,0)=0$ $AAi=1,...,n$, da cui $f(x_1,...,x_n)=0$, per cui $E={0}$.
(11) Siccome $\mathbb{K}$ finito allora $\mathbb{K}={k_1,...,k_m}$, consideriamo $f=(x_1-k_1)*...*(x_1-k_m)$ si ha che $V(f)=\mathbb{K}^n$.
(12)Siano $\mathbb{K}^n\\V(E),\mathbb{K}^n\\V(E')in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ tali che $\mathbb{K}^n\\V(E)nn\mathbb{K}^n\\V(E')=∅$ con $E,E'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$. Abbiamo quinddi che $\mathbb{K}^n\\(V(E)uuV(E'))=∅$ da cui $V(E)uuV(E')=\mathbb{K}^n$, per il punto (2b) abbiamo che $V(I)=V(E)$ e $V(J)=V(E')$ e per il punto (2c) abbiamo $V(InnJ)=\mathbb{K}^n$, ma allora preso $ain\mathbb{K}^n$ $f(a)g(a)=0$ $AAfinI$ $AAginJ$, ovvero (ragionando allo stesso modo del punto (2c)) $V(I)=\mathbb{K}^n$ oppure $V(J)=\mathbb{K}^n$, da cui $\mathbb{K}^n\\V(E)=∅$ oppure $\mathbb{K}^n\\V(E')=∅$.
(13) Viene direttamente dal punto (12) poichè non esistono due aperti non vuoti disgiunti.
(14) Mostriamo intanto che $V(IuuJ)=V(I+J)$. Intanto poichè $IuuJsubeI+J$ per il punto (2a) vale $V(I+J)subeV(IuuJ)$. Sia $ainV(IuuJ)$, allora $AAfinI$ e $AAginJ$ $f(a)=g(a)=0$, ma allora preso $hinI+J$ si ha che $h(a)=f(a)+g(a)=0$ con $finI$ e $ginJ$, per cui $ainV(I+J)$ e quindi $V(I+J)supeV(IuuJ)$. Sia ${\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)}_(\lambdain\Lambda)$ ricoprimento aperto di $\mathbb{K}^n$, per il punto (2b) vale $V(E_\lambda)=V(I_\lambda)$ $AA\lambdain\Lambda$. Inoltre per il punto (2d) vale $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)=uu_{\lambdain\Lambda}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n$
e poichè $uu_{\lambdain\Lambda}I_\lambdasube\sum_{\lambdain\Lambda} I_\lambda$ per il punto (2a) si ha $\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$. Per la noetherianità dell’anello $ \mathbb{K}[x_1,..., x_n] $ abbiamo $\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda'} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$ con $ \Lambda'sube\Lambda $ finito. Usando induttivamente che $V(IuuJ)=V(I+J)$ si ha $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda'}I_lambda)=\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda'} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$, ovvero $uu_{\lambdain\Lambda'}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n$ per cui $ (\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}) $ è compatto.
(15) Sia $x inRR^n\\V(E)$, allora $EEfinE$ tale che $f(x)!=0$. Poichè i polinomi sono funzioni continue $RR^n->RR$ per il teorema della permanenza del segno $EEA_x in\tau_{RR^n,text(eucl)}$ tale che $x inA_xsubeRR^n\\V(E)$, ma allora $RR^n\\V(E)=uu_{x inRR^n\\V(E)}A_x in\tau_{RR^n,text(eucl)}$ per cui $\tau_{RR^n,text(Zar)}sub\tau_{RR^n,text(eucl)}$. Siccome $RR$ è infinito allora $(RR^n, \tau_{RR^n,text(Zar)})$ non è T2, per cui la topologia di Zariski non può coincidere con quella euclidea.
(16) Siccome $CC^n=RR^(2n)$ si ragiona come nel punto (15).
Commento del professore
Una domanda cruciale è: esiste una caratterizzazione delle coppie di insiemi $E, E'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ tali che $V(E) =V(E')$? Nel caso in cui $\mathbb{K}$ è un campo algebricamente chiuso esiste una risposta completamente esauriente: il Nullstellensatz di Hilbert. Qui inizia la geometria algebrica...
Volevo proporre un esercizio sulla topologia di Zariski, sia per vedere se l'ho svolto correttamente e sia per chi fosse curioso e volesse approfondire l'argomento. Si tratta di un esercizio molto lungo, quindi invito chiunque a correggermi nel caso avessi sbagliato qualcosa e avere pazienza nel leggere tutto. Grazie.
Testo
Sia $\mathbb{K}$ un campo (dove indichiamo con $0$ l'elemento neutro della somma e $1$ l'elemento neutro del prodotto). Sia $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ l’anello dei polinomi con coefficienti in $\mathbb{K}$ nelle variabili $x_1,..., x_n$. Per ogni sottoinsieme $Esube\mathbb{K}[x_1, ..., x_n]$ si definisca:
$V(E)={ain\mathbb{K}^n|AAfinE, f(a)=0}sube\mathbb{K}^n$;
i sottoinsiemi di $\mathbb{K}^n$ di questo tipo si chiamano chiusi algebrici di $\mathbb{K}^n$. Per brevità se $f_1,... , f_rin\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ si pone $V(f_1,... , f_r)= V({f_1,..., f_r})$.
(1) Per $\mathbb{K}=RR$ si disegnino i seguenti sottoinsiemi di $RR^2$:$V(x_1^2+x_2^2-1),V(x_1^2+x_2^2+1),V(x_1-5,x_2-3),V(x_1+x_2-1,x_2^3)$
(2) Si provino le seguenti affermazioni:
(a) se $EsubeE'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ allora $V(E')subeV(E)$,
(b) se $Esube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ e $I$ è l’ideale dell’anello $K[x_1,... , x_n]$ generato da $E$ allora $V(E) = V(I)$,
(c) se $I$ e $J$ sono ideali di $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ allora $V(InnJ) = V(I)uuV(J)$,
(d) se ${E_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ è una famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ allora vale $V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)=nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda)$,
(e) $V(∅)=V(0)=\mathbb{K}^n$,
(f) $V(1)=V(\mathbb{K}[x_1,..., x_n])=∅$.
(3) Si provi che $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}={\mathbb{K}^n\\V(E) | Esube\mathbb{K}[x_1,..., x_n]}$ è una topologia su $\mathbb{K}^n$. Si chiama topologia di Zariski.
(4) Si faccia vedere che i punti sono chiusi algebrici.
(5) Si provi che $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è uno spazio topologico T1.
(6) Si provi che se $\mathbb{K}$ è finito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^n$ coincide con la topologia discreta.
(7) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}$ coincide con la topologia cofinita.
(8) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito e $n>=2$ allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^n$ è strettamente più fine della topologia cofinita.
(9) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora la topologia di Zariski su $\mathbb{K}^2$ è strettamente più fine del prodotto della topologia di Zariski su $\mathbb{K}$ con se stessa, cioè $\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}sup\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$
(10) Se $\mathbb{K}$ è infinito e $Esube\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ è tale che $V(E) = \mathbb{K}^n$ allora si provi $E = ∅$.
(11) Se $\mathbb{K}$ è finito allora si trovi un polinomio $fin\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$ non nullo tale che $V(f)=\mathbb{K}^n$.
(12) Se $\mathbb{K}$ è infinito allora si provi che l’intersezione di due qualsiasi aperti non vuoti di $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è non vuota.
(13) Si provi che se $\mathbb{K}$ è infinito allora $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ non è T2.
(14) Si dia per buono il seguente fatto (che segue dalla noetherianità dell’anello $\mathbb{K}[x_1,..., x_n])$: se ${I_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ è una famiglia di ideali di $\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$, allora esiste un sottoinsieme finito $\Lambda'sube\Lambda$ tale che $\sum_{\lambdain\Lambda}I_\lambda=\sum_{\lambdain\Lambda'}I_\lambda$. Si provi che $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è compatto.
(15) Se $\mathbb{K}= RR$ allora si provi che la topologia di Zariski su $RR^n$ è strettamente meno fine della topologia euclidea su $RR^n$, cioè $\tau_{RR^n,text(Zar)}sub\tau_{RR^n,text(eucl)}$.
(16) Se $\mathbb{K}= CC$ allora si provi che la topologia di Zariski su $CC^n$ è strettamente meno fine della topologia euclidea su $CC^n$, cioè $\tau_{CC^n,text(Zar)}sub\tau_{CC^n,text(eucl)}$.
Soluzione
(1) $V(x_1^2+x_2^2-1)=S^1$, $V(x_1^2+x_2^2+1)=∅$, $V(x_1-5,x_2-3)=(5,3)$, $V(x_1+x_2-1,x_2^3)=(1,0)$.
(2a) Sia $ainV(E')$ allora $AAfinE'$ $f(a)=0$, siccome $EsubeE'$ in particolare $AAginE$ $g(a)=0$, per cui $ainV(E)$ e quindi $V(E')subeV(E)$.
(2b) Abbiamo che $I={g_1f_1+...+g_kf_k|kinNN,g_1,...,g_kin\mathbb{K}[x_1,..., x_n],f_1,...,f_kinE}$. Poichè $EsubeI$ per il punto (2a) abbiamo $V(I)subeV(E)$. Sia $ainV(E)$ e sia $hinI$, allora $h(a)=g_1(a)f_1(a)+...+g_k(a)f_k(a)=0$ poichè $f_1(a)=...=f_k(a)=0$ per cui $V(E)subeV(I)$.
(2c) Sia $ainV(I)uuV(J)$, allora $AAfinI$ $f(a)=0$ e/o $AAginJ$ $g(a)=0$, per cui $AAhinInnJ$ $h(a)=0$ (poichè $h$ sta sia in $I$ che in $J$) e quindi $V(I)uuV(J)subeV(InnJ)$. Sia ora $ainV(InnJ)$ per cui $AAhinInnJ$ $h(a)=0$. Abbiamo che $fginInnJ$ $AAfinI$ $AAginJ$ per le proprietà di assorbimento degli ideali, per cui $f(a)g(a)=0$ $AAfinI$ $AAginJ$. Quindi se $EE\bar finI$ (oppure $EE\bar ginJ$) tale che $\bar f (a)!=0$ ( oppure $\ bar g (a)!=0$) allora siccome $\bar f (a)g(a)=0$ $AAginJ$ (oppure $f(a) \bar g (a)=0$ $AAfinI$) allora $g(a)=0$ $AAginJ$ (oppure $f(a)=0$ $AAfinI$) e quindi $ainV(I)uuV(J)$, ovvero $V(InnJ)subeV(I)uuV(J)$.
(2d)Abbiamo che $V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)={ain\mathbb{K}^n|AAfinuu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda, f(a)=0}={ain\mathbb{K}^n|AAfinE_\lambda, AA\lambdain\Lambda, f(a)=0}=nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda)$.
(2e) Si usa il fatto che $V(∅)$ non impone condizioni su $ain\mathbb{K}^n$ e che il polinomio $0$ è sempre nullo calcolato in ogni valore.
(2f) Si usa il fatto che il polinomio $1$ non è mai nullo calcolato in ogni valore e che $1in\mathbb{K}[x_1,..., x_n]$.
(3) Poichè $V(0)=\mathbb{K}^n$ e $V(1)=∅$ allora $∅,\mathbb{K}^nin\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$. Siano $\mathbb{K}^n\\V(E_1),...,\mathbb{K}^n\\V(E_r)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ con $E_1,...,E_rsube\mathbb{K}[x_1, ..., x_n]$, abbiamo che $nn_{j=1}^r \mathbb{K}^n\\V(E_j)=\mathbb{K}^n\\(uu_{j=1}^r V(E_j))$, usando il punto (2b) $V(E_j)=(I_j)$ con $j=1,...,r$ e usando induttivamente il punto (2c) l'ultima espressione è uguale a $\mathbb{K}^n\\V(nn_{j=1}^r I_j)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$. Sia ora ${\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)}_(\lambdain\Lambda)$ una famiglia di aperti di $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ con ${E_\lambda}_(\lambdain\Lambda)$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$. Allora $uu_{\lambdain\Lambda}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n\\(nn_{\lambdain\Lambda}V(E_\lambda))$ usando il punto (2d) quest'ultimo è uguale a $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$.
(4) Sia $p=(p_1,...,p_n)in\mathbb{K}^n$, consideriamo l'insieme $E={x_1-p_1,...,x_n-p_n)$, allora $V(E)={p}$, per cui i punti sono chiusi algebrici.
(5) Presi $x!=yin\mathbb{K}^n$ usando il punto (4) abbiamo che $\mathbb{K}^n\\{x},\mathbb{K}^n\\{y}$ sono due aperti di $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ tali che $xnotin\mathbb{K}^n\\{x},yin\mathbb{K}^n\\{x},x in\mathbb{K}^n\\{y},ynotin\mathbb{K}^n\\{y}$, per cui $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è T1.
(6) Abbiamo che $\mathbb{K}^n$ è finito e T1. In generale preso uno spazio topologico $X$ finito e T1, esso è discreto, infatti $AAx inX$ poichè $X$ è T1 si ha che ${x}$ è chiuso, inoltre poichè $X$ è finito allora $X={x_1,...,x_n}$ e preso $x_iinX$ si ha che $X\\{x_i}=uu_{k=1,k!=i}^{n}x_i$ è chiuso e quindi ${x_i}$ è aperto e quindi $X$ discreto.
(7) Siccome $(\mathbb{K}, \tau_{\mathbb{K},text(Zar)})$ è T1 allora $\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}supe\tau_{cof}$. Sia $\mathbb{K}\\V(E)in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ con $Esube\mathbb{K}[x_1]$, sia $f$ il polinomio di grado minimo in $E$ (nel caso ce ne fosse più di uno, si può scegliere uno qualunque di essi). Se esiste un polinomio che ha tutte radici diverse da $f$ allora $V(E)=∅$ (quindi $\mathbb{K}\\V(E)=\mathbb{K}in\tau_{cof}$), mentre se ogni polinomio di $E$ ha almeno una radice in comune con $f$ allora $|V(E)|<=deg(f)$ poichè in un campo un polinomio ha al massimo un numero di radici pari al suo grado, per cui $V(E)$ è finito, ma allora per definizione di topologia cofinita $\mathbb{K}\\V(E)in\tau_{cof}$, per cui $\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}sube\tau_{cof}$.
(8) Siccome $(\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)})$ è T1 allora $\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}sup\tau_{cof}$. Sia $E={x_2,...,x_n}$ allora $V(E)={(a_1,0,...,0)|a_1in\mathbb{K}}$ è infinito poichè $\mathbb{K}$ è infinito, ma allora $\mathbb{K}^n\\V(E)notin\tau_{cof}$ (notare che $V(E)!=\mathbb{K}^n$ per $n>=2$).
(9) Siano $Esube\mathbb{K}[x_1], E'sube\mathbb{K}[x_2]$, si ha che $\mathbb{K}\\V(E)xx\mathbb{K}\\V(E')in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$, ma $\mathbb{K}\\V(E)xx\mathbb{K}\\V(E')=\mathbb{K}^2\\V(EuuE')in\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}$, per cui $\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}sup\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$. Sia $E={x_1-x_2}$ allora $\mathbb{K}^2\\V(E)={(a_1,a_2)in\mathbb{K}^2|a_1!=a_2}$, se per assurdo $\mathbb{K}^2\\V(E)in\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ allora $EEA,Bin\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ tali che $\mathbb{K}^2\\V(E)=AxxB$. Poichè ad esempio ${(a_1,1)in\mathbb{K}^2|a_1!=1}uu{(1,0)},{(1,a_2)in\mathbb{K}^2|a_2!=1}uu{(0,1)}sube\mathbb{K}^2\\V(E)$ allora $A=B=\mathbb{K}$, ma ciò è assurdo poichè $\mathbb{K}^2\\V(E)!=\mathbb{K}^2$. Per cui $\mathbb{K}^2\\V(E)notin\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}xx\tau_{\mathbb{K},text(Zar)}$ mentre $\mathbb{K}^2\\V(E)in\tau_{\mathbb{K}^2,text(Zar)}$.
(10) Supponiamo che $E!=∅$, sia $finE$ allora poichè $V(E)=\mathbb{K}^n$ si ha $f(a)=0$ $AAain\mathbb{K}^n$, in particolare preso $a^((i))=(0,...,0,a_i,0,...,0)$ con $a_iin\mathbb{K}$ (in posizione $i$) vale che $f(a^((i)))=0$ $AAi=1,...,n$, ma $f(0,...,0,x_i,0,...,0)$ è un polinomio nella variabile $x_i$ (ovvero in una variabile) $AAi=1,...,n$ che ha infinite radici (poichè $\mathbb{K}$ è infinito) nel campo $\mathbb{K}$ e quindi necessariamente $f(0,...,0,x_i,0,...,0)=0$ $AAi=1,...,n$, da cui $f(x_1,...,x_n)=0$, per cui $E={0}$.
(11) Siccome $\mathbb{K}$ finito allora $\mathbb{K}={k_1,...,k_m}$, consideriamo $f=(x_1-k_1)*...*(x_1-k_m)$ si ha che $V(f)=\mathbb{K}^n$.
(12)Siano $\mathbb{K}^n\\V(E),\mathbb{K}^n\\V(E')in\tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}$ tali che $\mathbb{K}^n\\V(E)nn\mathbb{K}^n\\V(E')=∅$ con $E,E'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$. Abbiamo quinddi che $\mathbb{K}^n\\(V(E)uuV(E'))=∅$ da cui $V(E)uuV(E')=\mathbb{K}^n$, per il punto (2b) abbiamo che $V(I)=V(E)$ e $V(J)=V(E')$ e per il punto (2c) abbiamo $V(InnJ)=\mathbb{K}^n$, ma allora preso $ain\mathbb{K}^n$ $f(a)g(a)=0$ $AAfinI$ $AAginJ$, ovvero (ragionando allo stesso modo del punto (2c)) $V(I)=\mathbb{K}^n$ oppure $V(J)=\mathbb{K}^n$, da cui $\mathbb{K}^n\\V(E)=∅$ oppure $\mathbb{K}^n\\V(E')=∅$.
(13) Viene direttamente dal punto (12) poichè non esistono due aperti non vuoti disgiunti.
(14) Mostriamo intanto che $V(IuuJ)=V(I+J)$. Intanto poichè $IuuJsubeI+J$ per il punto (2a) vale $V(I+J)subeV(IuuJ)$. Sia $ainV(IuuJ)$, allora $AAfinI$ e $AAginJ$ $f(a)=g(a)=0$, ma allora preso $hinI+J$ si ha che $h(a)=f(a)+g(a)=0$ con $finI$ e $ginJ$, per cui $ainV(I+J)$ e quindi $V(I+J)supeV(IuuJ)$. Sia ${\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)}_(\lambdain\Lambda)$ ricoprimento aperto di $\mathbb{K}^n$, per il punto (2b) vale $V(E_\lambda)=V(I_\lambda)$ $AA\lambdain\Lambda$. Inoltre per il punto (2d) vale $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda}E_\lambda)=uu_{\lambdain\Lambda}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n$
e poichè $uu_{\lambdain\Lambda}I_\lambdasube\sum_{\lambdain\Lambda} I_\lambda$ per il punto (2a) si ha $\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$. Per la noetherianità dell’anello $ \mathbb{K}[x_1,..., x_n] $ abbiamo $\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda'} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$ con $ \Lambda'sube\Lambda $ finito. Usando induttivamente che $V(IuuJ)=V(I+J)$ si ha $\mathbb{K}^n\\V(uu_{\lambdain\Lambda'}I_lambda)=\mathbb{K}^n\\V(sum_{\lambdain\Lambda'} I_\lambda)=\mathbb{K}^n$, ovvero $uu_{\lambdain\Lambda'}\mathbb{K}^n\\V(E_\lambda)=\mathbb{K}^n$ per cui $ (\mathbb{K}^n, \tau_{\mathbb{K}^n,text(Zar)}) $ è compatto.
(15) Sia $x inRR^n\\V(E)$, allora $EEfinE$ tale che $f(x)!=0$. Poichè i polinomi sono funzioni continue $RR^n->RR$ per il teorema della permanenza del segno $EEA_x in\tau_{RR^n,text(eucl)}$ tale che $x inA_xsubeRR^n\\V(E)$, ma allora $RR^n\\V(E)=uu_{x inRR^n\\V(E)}A_x in\tau_{RR^n,text(eucl)}$ per cui $\tau_{RR^n,text(Zar)}sub\tau_{RR^n,text(eucl)}$. Siccome $RR$ è infinito allora $(RR^n, \tau_{RR^n,text(Zar)})$ non è T2, per cui la topologia di Zariski non può coincidere con quella euclidea.
(16) Siccome $CC^n=RR^(2n)$ si ragiona come nel punto (15).
Commento del professore
Una domanda cruciale è: esiste una caratterizzazione delle coppie di insiemi $E, E'sube\mathbb{K}[x_1,... , x_n]$ tali che $V(E) =V(E')$? Nel caso in cui $\mathbb{K}$ è un campo algebricamente chiuso esiste una risposta completamente esauriente: il Nullstellensatz di Hilbert. Qui inizia la geometria algebrica...
Risposte
...ma sono esercizi di topologia generale, oppure è l'inizio di un corso di geometria algebrica?
Lo chiedo per calibrarmi nelle risposte!
Lo chiedo per calibrarmi nelle risposte!
"j18eos":
...ma sono esercizi di topologia generale, oppure è l'inizio di un corso di geometria algebrica?
Lo chiedo per calibrarmi nelle risposte!
Topologia generale, infatti il commento finale si riferiva al fatto che per la topologia algebrica c'è un corso a parte (che io non so ancora ma se qualcuno vuol dire qualcosa a proposito faccia pure!).
"andreadel1988":Geometria Algebrica!
[...] il commento finale si riferiva al fatto che per la topologia algebrica c'è un corso a parte [...]
(Il mio campo di ricerca 
)Soluzioni.
(1) Va bene!
(2,3,4) Salto!
(5) Segue da 4!, in generale, uno spazio topologico ha tutti punti chiusi se e solo se soddisfa l'assioma \(T_1\)!
(6) Perfetto!, inclusa la generalizzazione!
(7) Salto!
(8) Perfetto!
(9) No: fai un disegno!
(10) Sì, ma devi specificare che un polinomio non nullo ha solo finite radici.
(11) Va bene, ma si può migliorare!
(12) Supposto che il punto (2) sia corretto: potresti un po' chiarirlo?
(13) Sì, dopo aver dimostrato il punto (12).
(14) Salto! P.S.: sì, devi usare il Teorema della Base di Hilbert come specificato dal prof.!
(15) Specifica perché utilizzi il Teorema della Permanenza del Segno delle Funzioni Continue!
(16) Sì, dopo aver dimostrato il punto (15).
Salto vuol dire che non li hai visti giusto?
Sì, non li ho controllati!
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