Topologia di Zariski

[Galoisfan]

Salve a tutti,
Se $K$ e' un campo infinito non riesco a provare che $\mathbb A^n_K$ con la topologia di Zariski non e' di Hausdorff. Mi aiutate?

Vorrei inoltre sapere se il seguente ragionamento e' giusto:
Se $K$ e' finito si ha che anche $\mathbb A^n_K$ e' finito dunque sempre con la topologia di Zariski $\mathbb A^n_K$ questa volta e' di Hausdorff. Cio' perche' uno spazio topologico finito e' T1 se e solo se e' T2 (di Hausdorff).

[Pappappero1]

Per provare che $\mathbb A ^n$ non è $T2$ basta osservare che due aperti Zariski si intersecano sempre. Supponiamo per assurdo di avere due aperti $A,B$ tali che $A \cap B = \emptyset$. Allora $A^C$ e $B^C$ (i complementari) sono chiusi e la loro unione fa tutto $\mathbb A ^n$. Ma $\mathbb A ^n$ è una varietà irriducibile (il suo ideale è definito da tutto l'anello di polinomi, che certamente è primo) e perciò non può essere scritta come unione di due chiusi.

Per la seconda parte direi che si può osservare questo:
Sia $X$ uno spazio topologico finito. Se $X$ è $T1$, allora $X$ è metrico con la metrica discreta. La dimostrazione segue semplicemente dal fatto che, se i punti sono chiusi, qualunque sottoinsieme di $X$ è chiuso in quanto unione finita di punti, dunque qualunque sottoinsieme è aperto e quindi la topologia è discreta.