Topologia di una circonferenza

[luca961]

Sia $f:R \to R^2$ $f(t)=(cos 2\pi t,sen 2\pi t)$. Sia $S^1$ l'immagine di $f$ . Sia $U_f$ lai topologia quoziente (indotta da $f$). Sia $U$ la topologia indotta da $R^2$. Dimostrare che $U_{f} =U$.
L'enunciato mi sembra banale ma non sono molto pratico negli esercizi...

[vict85]

Il regolamento prevede un tentativo di risposta. Se non provi come fai a dire di non essere pratico?

[Richard_Dedekind]

Provo a darti un suggerimento più meta-matematico che altro.
La bellezza della geometria moderna, e in particolare della topologia, a mio avviso risiede nel fatto che proprietà talmente ovvie e talmente evidenti a livello visivo si possano dimostrare ed interpretare con mezzi puramente algebrici e discreti. In particolare, io sono sempre affascinato dal fatto che una branca tanto evanescente come la teoria degli insiemi riesca ad essere il fondamento della topologia, una teoria che bene o male esplica tutta la geometria di un certo ente. La topologia è in grado di dirci come sono fatti davvero gli oggetti, e tutto grazie a banali relazioni di inclusione, intersezione, unione.
Quindi il mio suggerimento è questo: dopo la consapevolezza geometrica (che a questo livello esiste) pensa la topologia in termini insiemistici. In fondo una topologia su \(X\) è una sottofamiglia non vuota di \(\mathscr{P}(X)\)...