Topologia di sottospazio
Ciao!
sto studiando la topologia di sottospazio e in particolare ho incontrato questa affermazione:
la topologia di sottospazio è la topologia meno fine tra quelle che rendono l'inclusione un'applicazione continua
siccome mi secca lasciar passare inosservata questa affermazione ho pensato di dimostrarla così:
sia $(X,tau)$ spazio topologico e siano $YsubsetX$ e $tau'={YcapA| A in tau}$ la topologia di sottospazio. Sia inoltre $(Y,tau_Y)$ un'altra struttura topologica
supponiamo che $i:(Y,tau_Y) -> (X,tau)$ sia continua allora per ogni $A in tau$ avremo che
di fatto
quindi $tau_Y$ contiene tutti gli aperti di $tau'$
Il significato di questa affermazione è che sostanzialmente la topologia più 'piccola' che rende l'inclusione continua sia quella indotta dalla topologia di tutto lo spazio, no?
[ot]mi consigliate qualche eserciziario?[/ot]
sto studiando la topologia di sottospazio e in particolare ho incontrato questa affermazione:
la topologia di sottospazio è la topologia meno fine tra quelle che rendono l'inclusione un'applicazione continua
siccome mi secca lasciar passare inosservata questa affermazione ho pensato di dimostrarla così:
sia $(X,tau)$ spazio topologico e siano $YsubsetX$ e $tau'={YcapA| A in tau}$ la topologia di sottospazio. Sia inoltre $(Y,tau_Y)$ un'altra struttura topologica
supponiamo che $i:(Y,tau_Y) -> (X,tau)$ sia continua allora per ogni $A in tau$ avremo che
$YcapA=i^(leftarrow)(YcapA), forall A in tau$ poichè $YcapAsubsetY$
di fatto
$x in i^(leftarrow)(YcapA) <=> i(x) in Ycap A <=> x in YcapA$
quindi $tau_Y$ contiene tutti gli aperti di $tau'$
Il significato di questa affermazione è che sostanzialmente la topologia più 'piccola' che rende l'inclusione continua sia quella indotta dalla topologia di tutto lo spazio, no?
[ot]mi consigliate qualche eserciziario?[/ot]
Risposte
Buongiorno! 
Hai ragione, che scemo. Non c’è garanzia che $YcapA$ sia un aperto di $X$, visto che $Y$ può essere un qualsiasi sottoinsieme.
Avrei dovuto usare proprio l’uguaglianza $i^(leftarrow)(A)=YcapA$ che già porta a concludere visto che tutti e soli gli aperti di $Y$ nella topologia di sottospazio sono di quel tipo.
Di fatto se $B in tau’$ allora esiste $A in tau$ tale che $B=YcapA$ e si ha $i^(leftarrow)(A)=YcapA in tau_Y$.
Grazie arnett
[ot]Infatti ho visto cercato di vedere e usare qualche costruzione equivalente: tramite i chiusi, gli operatori di chiusura e basi.
Con il manetti mi sto trovando bene, ma andando più avanti avrò bisogno di più esercizi.
In quanto a teoria è ottimo[/ot]
Hai ragione, che scemo. Non c’è garanzia che $YcapA$ sia un aperto di $X$, visto che $Y$ può essere un qualsiasi sottoinsieme.
Avrei dovuto usare proprio l’uguaglianza $i^(leftarrow)(A)=YcapA$ che già porta a concludere visto che tutti e soli gli aperti di $Y$ nella topologia di sottospazio sono di quel tipo.
Di fatto se $B in tau’$ allora esiste $A in tau$ tale che $B=YcapA$ e si ha $i^(leftarrow)(A)=YcapA in tau_Y$.
Grazie arnett
[ot]Infatti ho visto cercato di vedere e usare qualche costruzione equivalente: tramite i chiusi, gli operatori di chiusura e basi.
Con il manetti mi sto trovando bene, ma andando più avanti avrò bisogno di più esercizi.
In quanto a teoria è ottimo[/ot]
L'approccio di arnett è quello standard, ma leggendo il tuo post mi è venuto un altro modo bellino di farlo.
Per esempio sappiamo che $i:(Y,tau_Y) -> (X,tau)$ è continua, quindi, per dei teoremi sulle restrizioni di funzioni, anche $i:(Y,tau_Y) -> (Y,tau')$ è continua, quindi per il noto legame tra topologie in uno stesso insieme e la continuità dell'identità si ha $tau\subseteq tau'$. Fine.
Sì, più in generale io avevo generalizzato questa cosa ad ogni costruzione topologica (basilare, ovvero prodotto, quoziente e sottospazio) in questo modo: "Sull'insieme costruito bisogna mettere la topologia meno banale che rende continue la funzioni più naturali che coinvolgono l'insieme stesso." Dove il significato di alcuni termini varia da caso a caso: insieme costruito=prodotto cartesiano, insieme quoziente, sottoinsieme; meno banale=più fine se è il codominio, meno fine se è il dominio; funzioni più naturali=proiezioni sui fattori, proiezione sul quoziente, immersione.
[ot]Come eserciziario prova a dare un'occhiata qui, comunque puoi sempre attingere al Dugundji per molti interessanti esercizi
[/ot]
Per esempio sappiamo che $i:(Y,tau_Y) -> (X,tau)$ è continua, quindi, per dei teoremi sulle restrizioni di funzioni, anche $i:(Y,tau_Y) -> (Y,tau')$ è continua, quindi per il noto legame tra topologie in uno stesso insieme e la continuità dell'identità si ha $tau\subseteq tau'$. Fine.
"anto_zoolander":
Il significato di questa affermazione è che sostanzialmente la topologia più 'piccola' che rende l'inclusione continua sia quella indotta dalla topologia di tutto lo spazio, no?
Sì, più in generale io avevo generalizzato questa cosa ad ogni costruzione topologica (basilare, ovvero prodotto, quoziente e sottospazio) in questo modo: "Sull'insieme costruito bisogna mettere la topologia meno banale che rende continue la funzioni più naturali che coinvolgono l'insieme stesso." Dove il significato di alcuni termini varia da caso a caso: insieme costruito=prodotto cartesiano, insieme quoziente, sottoinsieme; meno banale=più fine se è il codominio, meno fine se è il dominio; funzioni più naturali=proiezioni sui fattori, proiezione sul quoziente, immersione.
[ot]Come eserciziario prova a dare un'occhiata qui, comunque puoi sempre attingere al Dugundji per molti interessanti esercizi
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@otta
mi piace.
Più vado avanti più parecchie cose si intrecciano, anche se chiaramente sono ancora agli inizi. Per esempio ho dovuto fissare bene a mente e riprendere alcune proprietà delle funzioni sulle quali prima non mi ero soffermato. Quindi mi sento di dire che in un certo senso mi sta 'completando' anche su altri aspetti(non a caso ho letto che la topologia nasce con l'intento di essere una specie di 'teoria unificante')
[ot]poco fa ho proprio aperto il Dugundji e ne ho trovati fin troppi
[/ot]
"otta96":
Per esempio sappiamo...
mi piace.
Più vado avanti più parecchie cose si intrecciano, anche se chiaramente sono ancora agli inizi. Per esempio ho dovuto fissare bene a mente e riprendere alcune proprietà delle funzioni sulle quali prima non mi ero soffermato. Quindi mi sento di dire che in un certo senso mi sta 'completando' anche su altri aspetti(non a caso ho letto che la topologia nasce con l'intento di essere una specie di 'teoria unificante')
[ot]poco fa ho proprio aperto il Dugundji e ne ho trovati fin troppi
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o avevo generalizzato questa cosa ad ogni costruzione topologica (basilare, ovvero prodotto, quoziente e sottospazio) in questo modo: "Sull'insieme costruito bisogna mettere la topologia meno banale che rende continue la funzioni più naturali che coinvolgono l'insieme stesso."
Questa idea intuitiva, che tu hai riscoperto, si formalizza mediante la nozione di topologia forte e topologia debole (dette anche topologia iniziale e finale); l'astrazione di queste definizioni è la nozione di costrutto topologico.
I concetti di topologia iniziale e finale li conosco (anche se li ho scoperti dopo aver pensato quella cosa).
OT
@anto
per topologia generale avevo comprato il Manetti, ma come te ho sentito la necessità di avere più esercizi: ho trovato una buona repository nel tanto amato/odiato Munkres (che come ha fatto notare @arnett, ha soluzioni facilmente reperibili nella rete tra dispense e Stack Exchange)
@anto
per topologia generale avevo comprato il Manetti, ma come te ho sentito la necessità di avere più esercizi: ho trovato una buona repository nel tanto amato/odiato Munkres (che come ha fatto notare @arnett, ha soluzioni facilmente reperibili nella rete tra dispense e Stack Exchange)
Grazie feddy allora ora procedo alla ricerca di questo libro
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