Topologia di sorgenfrey

[EnigMat]

Scusate questa mattina mi è venuto un dubbio. La topologia di Sorgenfrey degli intervalli aperti asinistra è chiusa a destra può essere definita solo in termini di base? Se ad esempio considero due intervalli aperti (secondo questa topolgia) $(a,b]$ e $(c,d]$ a intersezione vuota, quando vado a fare l'unione non ottengo più un intervallo del tipo $(h,k]$ quindi non è verificato l'assioma A2 per gli spazi topologici. Allora come posso dire che si tratta di una topologia?

[piadinaro1]

Una base non è necessariamente una topologia. Anche perché se lo fosse non sarebbe tanto utile. La topologia generata da una base è l'insieme dei sottoinsiemi dello spazio che ottieni come unione di elementi della base. Così l'assioma A2 è gratuito

[EnigMat]

Ma è possibile provare ricorrendo soltanto agli assiomi A1 A2 e A3 che gli intervalli del tipo $(a,b]$ con $a$ e $b$ numeri reali e $a

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[piadinaro1]

No, se ti limiti agli intervalli di quel tipo non hai una topologia: il perché l'hai scritto tu sopra

[EnigMat]

quindi, come in questo caso, esistono delle topologie pur non verificando gli assiomi sono tali in quanto ammettono una base. giusto?

[piadinaro1]

No, il fatto che rispettino gli assiomi è la definizione di topologia. Se non sono rispettati (come in questo caso) Non hai una topologia. Lui si limita a darti una base per una topologia (che non necessariamente è una topologia). La topologia la ottieni considerando le unioni di elementi della base.

[EnigMat]

scusa quando dici che non è necessariamente una topologia ti riferisci alla base? quindi, in generale, anche se non vengono rispettati gli assiomi A1-A3 ma riesco comunque a trovare una base posso ancora parlare di topologia?

[piadinaro1]

Sì, mi riferisco alla base.
La topologia ottenuta dalla base deve rispettare gli assiomi (per definizione, altrimenti non puoi chiamarla topologia). Per essere una base basta meno.
Puoi provare a dimostrare che \( B \subset \wp (X) \) è una base per una topologia su $X$ se e solo se valgono:
(1) \( \cup_{A\in B}A=X \),
(2) dati $A_1$, $A_2\in B$ esistono $A_i\in B$ tali che $\cup A_i=A_1 \cap A_2$.

[EnigMat]

Perdonami ma ancora non mi è chiara una cosa. Sono riuscito a dimostrare che gli insiemi del tipo $[a,b[$ o $ ]a,b] $ costituiscono una base per una topologia su $R$ ma ho anche provato che gli insiemi di quel tipo non rispettano l'assioma A2. Quindi che conclusioni posso trarre? Posso parlare o meno di topologia per gli insiemi di quel tipo? E' questo il dubbio che mi è ancora rimasto.

[piadinaro1]

$ \{ \[a,b) | a,b \in \mathbb(R) \}$ non è una topologia su $ \mathbb{R}$

[EnigMat]

piadinaro:$ \{ \[a,b) | a,b \in \mathbb(R) \}$ non è una topologia su $ \mathbb{R}$

ma soltanto una base, giusto? Quindi non posso dire che $R$ con gli aperti del tipo $[a,b[$ è uno spazio topologico?

[EnigMat]

dubbio genera dubbio: ma gli elementi di una bse si chiamano ancora aperti?

[piadinaro1]

Sì, è soltanto una base per una topologia (che avrà anche altra roba). Quindi se ti limiti a quelli non hai uno spazio topologico.
Poi gli elementi della base sono aperti nello spazio topologico con la topologia generata da tale base. Comunque per parlare di aperti bisogna far riferimento a uno spazio topologico.

[EnigMat]

Innanzi tutto voglio ringraziarti per la pazienza e per il tempo che mi stai dedicando. In conclusione il titolo di questo topic è sbagliato, nel senso che quella di Sorgenfrey NON è una topologia? Talvolta ho trovato questa dicitura su libri o appunti. E da qui si è generato il caos

[piadinaro1]

Con topologia di Sorgenfrey si intende quella che ha $\{[a,b)|a,b \in \mathbb{R} \}$ come base. Quindi ha perfettamente senso: cioè con topologia di Sorgenfrey non si intende quell'insieme, ma un insieme più grande, costituito da tutta la roba che puoi ottenere come unione (finita e non) di elementi della base.

[EnigMat]

Aaaaaaaaaaaaaah, finalmente ci siamo!!! Io credevo erroneamente che la topologia di Sorgenfrey fosse quella che considerava come aperti gli intervalli del tipo $[a,b[$ invece gli aperti sono unioni di intervalli di quel tipo, è così?

[piadinaro1]

Sì, è così.

[EnigMat]

Finalmente ho capito!!! Ti ringrazio di vero cuore per la pazienza e l'aiuto. Al prossimo dubbio