Topologia di $\RR^{n}$

[freddofede]

Nel libro leggo che esistono insiemi né aperti né chiusi in $\RR^{n}$, ma non leggo esempi. Ne avete qualcuno?
Anche per capir meglio il concetto...

[Fioravante Patrone1]

Facilissimo, prendi un cerchio, palla, iperpalla chiusi e cavi via il centro
Né chiuso né aperto.

[gugo82]

Ogni intervallo del tipo $[a,b[$ (con $a Per un esempio in dimensione $n>1$ basta considerare il prodotto di $n$ intervalli del tipo suddetto (ossia un insieme del tipo $I=[a_1,b_1[\times \ldots \times [a_n,b_n[$).

@Fioravante: mi hai battuto sul filo dei centesimi.

[freddofede]

Quindi questi casi sarebbero analoghi a tutto $\RR^{n}$ e all'insieme vuoto?

Perché nel caso risulterebbe, [ironico]strano a dirsi[/ironico], che il Marcellini Sbordone fa un pò di confusione dicendo che esistono insiemi contemporaneamente aperti e chiusi e alcuni né aperti né chiusi. O forse sono io pignolo, bho.

[gugo82]

No, poichè per l'appunto $RR^n, \emptyset$ sono aperti e chiusi, ossia appartengono a $A\cap C$ ($A$ classe degli aperti e $C$ classe dei chiusi di $RR^n$), mentre $I=[a_1,b_1[\times \ldots \times [a_n,b_n[ \notin A\cup C$, cosicché non è né aperto né chiuso.

[freddofede]

Ti riporto il mio ragionamento: l'insieme vuoto e tutto $\RR^{n}$ per la definizione si possono dire chiusi. Essendo l'uno il complementare dell'altro, sono anche entrambi aperti. Perché non posso fare un ragionamento analogo sugli insiemi che mi riporti tu?

[freddofede]

Penso di aver capito: gli insiemi da te menzionati non possono, per definizione, essere aperti. Ma neanche i loro complementari, quindi risultano né aperti né chiusi. Invece $\RR^{n}$ e vuoto possono essere entrambi senza contraddire le definizioni. Correggetemi se sbaglio.

[gygabyte017]

Ti faccio l'esempio in $RR$ che è facile. Prendi $[a,b)$: questo non è aperto perchè (def) non è vero che $AA x in [a,b) \quad EE I=(x-delta, x+delta) \quad| \quad I subseteq [a,b) \quad delta > 0$ infatti basta prendere $x=a$.

Quindi sappiamo che non è aperto. Sarà chiuso? Vediamo il complementare: $[a,b)^C = (-oo,a) cup [b,+oo)$. Il complementare è aperto? Per niente, basta prendere $x=b$. E quindi non è chiuso.

Riassumendo, $[a,b)$ non è nè aperto nè chiuso. Lo stesso vale anche con $(a,b]$, e con il prodotto di $n$ intervalli di questo tipo in $RR^n$, facendo un ragionamento analogo...

Spero ti sia chiaro!

Edit: Ho letto ora la tua risposta, sì è esatto!

[freddofede]

Ok, grazie della conferma.

[Fioravante Patrone1]

"lore":Correggetemi se sbaglio.

Non ti corrigeremo

[freddofede]

Essendo prof, lo farai compulsivamente .