Topologia dello spazio RK

[dissonance]

Apro qui un nuovo topic per continuare questa discussione con G.G. Si parlava dello spazio topologico [tex]\mathbb{R}_K[/tex]:

Sia [tex]K=\{1 / n \mid n=1, 2, 3, \ldots \}[/tex] e sia [tex]\mathcal{B}_K=\{(\alpha, \beta)\mid \alpha < \beta \} \cup \{ (a, b) \setminus K \mid a < b\}[/tex]. Indichiamo con [tex]\mathbb{R}_K[/tex] la retta reale munita della topologia generata da [tex]\mathcal{B}_K[/tex], osservando che [tex]\mathcal{B}_K[/tex] è una base di [tex]\mathbb{R}_K[/tex].

"G.G":Quindi nel caso di $ RRk $ non si possono avere due aperti $ U $ e $ V $ t.c $ 0 in U $, $ k in V $ con intersezione vuota poichè, essendo $ U $ aperto, $ EE a>0 t.c (0-a, 0+a) sub U $ ed esisterà per forza $ n in NN t.c 1/n in U $. Di conseguenza $ U nn V != O/ $. Può andare come spiegazione?

No, non va bene. La topologia di $RR_K$ è diversa dalla topologia euclidea, ad esempio $(-1, 1)\setminus{1, 1/2, 1/3, ...}$ è aperto. Definendo $U$ come questo insieme, non esiste alcuna $n$ tale che $1/n in U$.

Infatti il problema non è in $0$ ma in $K$. Prendi un insieme aperto $V$ contenente $K$ come sottoinsieme. Può essere che $0 \notin V$? Pensaci un po', se hai dei dubbi ne riparliamo.

[G.G211]

Giusto ho detto una cavolata! Se $ V $ è un aperto contenente $ K $ posso supporre per assurdo che non contenga lo $ 0 $. Quindi potrei porre ad esempio $ V= (a, 2) $ con $ 0

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[dissonance]

Questo è peggio di quello di prima! Così dimostri che ogni aperto della forma $(a, 2)$ non contiene lo $0$, ok, ma non è questo che ti serve. Colpa mia, ho dato un suggerimento fuorviante. Io risolverei così:

Siano [tex]U, V[/tex] aperti di [tex]\mathbb{R}_K[/tex] tali che [tex]0 \in U, K \subset V[/tex]. Allora [tex]V[/tex] è unione di elementi della base [tex]\mathcal{B}_K[/tex]:

[tex]$V=\underbrace{\bigcup_{i}(\alpha_i, \beta_i)}_{V_1} \cup \underbrace{\bigcup_{j}\big((a_j, b_j) \setminus K\big)}_{V_2}[/tex]

per opportuni [tex]a_j, b_j, \alpha_i, \beta_i[/tex]. Consideriamo [tex]V_1[/tex]. [tex]K[/tex] è interamente contenuto in questo insieme, quindi per ogni [tex]n[/tex] esiste [tex]i[/tex] tale che [tex]\alpha_i < 1/n[/tex]. Ora consideriamo [tex]U[/tex]. Anche [tex]U[/tex] è unione di elementi di [tex]\mathcal{B}_K[/tex] quindi necessariamente deve contenere un intervallo [tex](\alpha, \beta)[/tex] oppure un insieme della forma [tex](a, b)\setminus K[/tex]. Nel primo caso deve essere [tex]\beta > 0[/tex], nel secondo [tex]b>0[/tex]: comunque deve esistere [tex]n[/tex] tale che [tex]1/n < \beta[/tex] oppure [tex]1/n < b[/tex]. In corrispondenza di questa [tex]n[/tex] esiste [tex]i[/tex] tale che [tex]\alpha_i < 1/n[/tex] quindi [tex]\alpha_i < \beta[/tex] oppure [tex]\alpha_i < b[/tex]: allora esiste [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] tale che [tex]\alpha_i < x < \beta[/tex] oppure [tex]\alpha_i < x < b, x \notin K[/tex] e quindi [tex]x \in U \cap V[/tex]. In particolare [tex]U \cap V \ne \varnothing[/tex].

Qui ho fatto proprio tutti i passaggi per la massima chiarezza, naturalmente puoi anche essere un po' meno fiscale.

[G.G211]

ok ora ho capito!!!!! grazie mille come al solito!